Доказване на теоремата на Ойлер за четириъгълник

[Гост]

Теоремата на Ойлер гласи, че ако [tex]A_{1}A_{2 }A_{3 }A_{4}[/tex] е произволен изпъкнал четириъгълник, [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] са средите съответно на [tex]A_{1}A_{3}[/tex] и [tex]A_{2}A_{4}[/tex], то

[tex]A_{1 }A_{2 } ^{2 } + A_{2 }A_{3} ^{2 } + A_{3 }A_{4 } ^{2 } + A_{1 }A_{4} ^{2 } = A_{1 }A_{3 } ^{2 } + A_{2 }A_{4 } ^{2 } + 4PQ^{2 }[/tex].

Разполагам със следното доказателство:

IMG_20221104_114505_850~3.jpg (270.46 KiB) Прегледано 1222 пъти

където [tex]I[/tex] е инерчен момент.
Проблемът е, че в него като краен резултат се получава
[tex]A_{1 }A_{2 } ^{2 } + A_{2 }A_{3} ^{2 } + A_{3 }A_{4 } ^{2 } + A_{1 }A_{4} ^{2 } = 2A_{1 }A_{3 } ^{2 } + 2A_{2 }A_{4 } ^{2 } + 4PQ^{2 }[/tex], т.е последният ред е грешен. Ако доказателството е правилно, искам да знам какво пропускам. Ако не, искам да разбера правилния начин да докажа теоремата на Ойлер като използвам вектори.

[Гост]

pravilno e tva, det sa napisali, samo che treba da pishe naprimer [tex](\vec{OA_1})^{2 }[/tex] ili prosto [tex]OA_1^{2 }[/tex]; inercionniat moment e skalarna velichina, a ne vektor

[Гост]

pravilno e tva, det sa napisali, samo che treba da pishe naprimer [tex](\vec{OA_1})^{2 }[/tex] ili prosto [tex]OA_1^{2 }[/tex]; inercionniat moment e skalarna velichina, a ne vektor

Всъщност има грешка и тя е, че вместо

[tex]2(A_1A_2^2 + A_2A_3^2 + A_3A_4^2 + A_1A_4^2 + A_1A_3^2 +A_2A_4^2) = 8(OA_1^2 +OA_2^2 +OA_3^2 + OA_4^2 )[/tex]

е написано

[tex]2(A_1A_2^2 + A_2A_3^2 + A_3A_4^2 + A_1A_4^2) = 8(OA_1^2 +OA_2^2 +OA_3^2 + OA_4^2 )[/tex].

[Гост]

a, da, pravilno az prosto gledah po moja list

[Гост]

realno po-burzo stava s analitichna geometrija, shtoto imash samo kvadrati na razstojanija

[Гост]

vuznikva slednijat vapros: mozhe li da se nameri vruzka mezhdu kvadratite na razstojanijata samo mezhdu 4-te tochki [tex]A_i[/tex]?

[Гост]

Скрит текст: покажи

Da. Determinantata na Cayley-Menger za 3-simpleks (tetraedar) se priravnjava na nula.