Четириъгълникът окръжностите, вписани в ABC и ACD се допират

[Kriseto29]

Четириъгълникът ABCD е със страни АВ = 12, ВС = 8 и CD=6. Окръжностите, вписани в [tex]\triangle[/tex]ABC и [tex]\triangle[/tex]ACD, се допират. Намерете страната DA. Haмерете AC, ако S[tex]\triangle[/tex]ABC=2*S[tex]\triangle[/tex]ACD.

[S.B.]

Четириъгълникът ABCD е със страни АВ = 12, ВС = 8 и CD=6. Окръжностите, вписани в [tex]\triangle[/tex]ABC и [tex]\triangle[/tex]ACD, се допират. Намерете страната DA. Haмерете AC, ако S[tex]\triangle[/tex]ABC=2*S[tex]\triangle[/tex]ACD.

Без заглавие - 2023-01-21T154250.311.png (416.58 KiB) Прегледано 1112 пъти

Нека вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност се допира до $AB$ в т.$M$, до $BC$ в т.$N$ и до $AC$ в т. $T$, а вписаната в [tex]\triangle ADC[/tex] окръжност се допира до $CD$ в т.$P$ , до $AD$ в т.$Q$, а до $AC$ ,тъй като се допира и до другата окръжност също в т. $T$
Нека $MB = x$
От своството на допирателните от външна точка към окръжността последователно получаваме:
$MB = BN = x ,NC = CT = CP = 8 - x ,PD = DQ = 6 - (8 - x) = x - 2$
$AM = AT = AQ = 12- x$
[tex]AD = AQ + QD \Leftrightarrow AD = 12 - x + x - 2 \Rightarrow[/tex]
$$AD = 10$$

Нека $AC = y$
За лицата на [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle ADC[/tex] прилагам Хероновата формула:

[tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]p = \frac{12 + 8 + y}{2} \Rightarrow p = \frac{20 + y}{2}[/tex]
[tex]p - AC = \frac{20 - y}{2}[/tex]
[tex]p - AB = \frac{y - 4}{2}[/tex]
[tex]p - BC = \frac{y + 4}{2}[/tex]
[tex]S_{ABC } = \sqrt{ \frac{20 + y}{2} .\frac{20 - y}{2} .\frac{y - 4}{2} .\frac{y + 4}{2} } = \frac{1}{4} \sqrt{( 20^{2 }- y^{2 })( y^{2 } - 4^{2 }) }[/tex]

[tex]\triangle ACD[/tex]
[tex]p = \frac{10 + 6 + y}{2} \Rightarrow p = \frac{16 + y}{2}[/tex]
[tex]p - AC = \frac{16 - y}{2}[/tex]
[tex]p - CD = \frac{4 + y}{2}[/tex]
[tex]p - AD = \frac{y - 4}{2}[/tex]
[tex]S_{ACD } = \sqrt{ \frac{16 + y}{2}. \frac{16 - y}{2}. \frac{y + 4}{2}. \frac{y - 4}{2} } = \frac{1}{4} \sqrt{( 16^{2 } - y^{2 })( y^{2 } - 4^{2 }) }[/tex]

По условие [tex]S_{ABC } = 2. S_{ACD }[/tex]
[tex]\frac{1}{4} \sqrt{( 20^{2 } - y^{2 } )( y^{2 } - 4^{2 } )} = 2. \frac{1}{4} \sqrt{( 16^{2 } - y^{2 })( y^{2 } - 4^{2 }) } \Leftrightarrow \sqrt{( 20^{2 } - y^{2 })( y^{2 } - 4^{2 }) } = 2 \sqrt{( 16^{2 }- y^{2 })( y^{2 } - 4^{2 }) }[/tex]

[tex]( 20^{2 } - y^{2 })( y^{2 }- 4^{2 }) = 4( 16^{2 }- y^{2 } )( y^{2 } - 4^{2 }) \Leftrightarrow ( 20^{2 } - y^{2 })( y^{2 } - 4^{2 }) - 4( 16^{2 } - y^{2 })( (y^{2 } - 4^{2 } )= 0 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]( y^{2 } - 16)(400 - y^{2 } - 1024 +4 y^{2 }) = 0 \Leftrightarrow ( y^{2 } - 16)(3 y^{2 } - 624) = 0[/tex]

[tex]y^{2 } - 16 = 0[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]3y^{2 } - 624 = 0[/tex]

[tex]y^{2 } - 16 = 0 \Leftrightarrow y^{2 } = 16 \Rightarrow y = \pm 4 , y> 0 \Rightarrow y_{1 } = 4[/tex]

[tex]3y^{2 } - 624 = 0 \Leftrightarrow 3y^{2 } = 624 \Leftrightarrow y^{2 } = 208 \Rightarrow y = \pm 4 \sqrt{13} , y > 0 \Rightarrow y_{2 } = 4 \sqrt{13}[/tex]

За [tex]\triangle ABC[/tex] трябва да е изпълнено:
[tex]\begin{cases} AB + BC > AC \\ |AB - BC| < AC \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 12 + 8 = 20 > 4\\12-8 = 4 < 4 \sqrt{13} \end{cases} \Rightarrow y_{1 } = 4[/tex] не е решение, [tex]y_{2 } = 4 \sqrt{13}[/tex] е решение
За [tex]\triangle ADC[/tex]:
[tex]\begin{cases} AD + DC > AC \\ |AD - DC| < AC \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 10 + 6 = 18 > 4 \\ 10 - 6 = 4 <4 \sqrt{13} \end{cases} \Rightarrow y_{1 } = 4[/tex] не е решение,а [tex]y_{2 } = 4 \sqrt{13}[/tex] е решение
$$\Rightarrow AC = 4 \sqrt{13} $$