Д2 на успоредник

[Гост]

Периметърът на успоредник е 90см, един от диагоналите му е 25см, а лицето му - 420 см2. Колко см е вторият диагонал?

[ammornil]

[tex]AC\cap BD=O, AO=CO=\frac{25}{2}, S_{ABCD}=420 \\ AB=CD=a, BC=AD=b, 2a+2b=90, BO=DO=y, \angle{AOD}=\varphi,\\ \begin{array}{|l} 2a+2b=90 \\ a^{2}=\left(\frac{\normalsize{25}}{\normalsize{2}} \right)^{2}+y^{2}+2\cdot{\frac{\normalsize{25}}{\normalsize{2}}}\cdot{y}\cdot{\cos{\varphi}} \\ b^{2}=\left(\frac{\normalsize{25}}{\normalsize{2}} \right)^{2}+y^{2}-2\cdot{\frac{\normalsize{25}}{\normalsize{2}}}\cdot{y}\cdot{\cos{\varphi}} \\ \frac{\normalsize{2y\cdot{25}\cdot{\cos{\varphi}}}}{\normalsize{2}}=420\end{array}[/tex]
4 уравнения с четири неизвестни

[S.B.]

Периметърът на успоредник е 90см, един от диагоналите му е 25см, а лицето му - 420 см2. Колко см е вторият диагонал?

Без заглавие - 2024-02-04T220841.941.png (179.12 KiB) Прегледано 1038 пъти

Нека [tex]BD = d_{1 } , AC = d_{2 } ,AB = a , BC = b, \angle A = \alpha , \angle B = 180 ^\circ - \alpha[/tex]

За [tex]\triangle ABD[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]d_{1 } ^{2 } = a^{2 } + b^{2 } - 2.ab.\cos \alpha[/tex]

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]d_{2 } ^{2 } = a^{2 } + b^{2 } - 2.ab.\cos (180 ^\circ - \alpha) \Leftrightarrow d_{2 } ^{2 } = a^{2 } + b^{2 } + 2.ab.\cos \alpha[/tex]

[tex]P_{ABCD } = 90 \Leftrightarrow 2a + 2b = 90 \Leftrightarrow a + b = 45 \Rightarrow (a + b)^{2 } = 45^{2 }[/tex]
[tex]a^{2 } + b^{2 } = (a + b)^{2 } - 2.ab = 45^{2 } - 2.ab[/tex]
[tex]S_{ABCD } = 420 \Leftrightarrow ab.\sin \alpha = 420 \Rightarrow ab = \frac{420}{\sin \alpha }[/tex]
[tex]\Rightarrow a^{2 } + b^{2 } = (a + b)^{2 } - 2ab \Leftrightarrow a^{2 } + b^{2 } = 45^{2 } - \frac{840}{\sin \alpha }[/tex]
Тогава за [tex]d_{1 } ^{2 }[/tex] и [tex]d_{2 } ^{2 }[/tex] получаваме:

[tex]d_{1 } ^{2 } = 45^{2 } - \frac{840}{\sin \alpha } - \frac{840}{\sin \alpha }.\cos \alpha \Leftrightarrow d_{1 } ^{2 } = 45^{2 }- 840( \frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha })[/tex]

[tex]d_{2 } ^{2 } = 45^{2 } - \frac{840}{\sin \alpha } + \frac{840}{\sin \alpha }.\cos \alpha \Leftrightarrow d_{2 } ^{2 } = 45^{2 } - 840 ( \frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha })[/tex]
1)
Нека [tex]d_{1 } = 25[/tex]

[tex]25^{2 } = 45^{2 } - 840 ( \frac{1 + \cos \alpha }{\sin \alpha })[/tex]

Полагам [tex]\sin \alpha = \frac{2t}{1 + t^{2 } } , \cos \alpha = \frac{1 - t^{2 } }{1 + t^{2 } }[/tex]

[tex]25^{2 } = 45^{2 } - 840 \displaystyle\frac{1+ \displaystyle \frac{1 - t^{2 } }{1 + t^{2 } } }{\displaystyle \frac{2t}{1 + t^{2 } } } \Leftrightarrow -20.70 = -840 .\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1 + t^{2 }+ 1 - t^{2 } }{1 + t^{2 } } }{\displaystyle \frac{2t}{1 + t^{2 } } } \Leftrightarrow \displaystyle\frac{1400}{840} = \displaystyle\frac{1}{t} \Leftrightarrow t = \displaystyle \frac{5}{3}[/tex]

[tex]d_{2 } ^{2 } = 45^{2 } - 840 ( \displaystyle\frac{1 - \displaystyle\frac{1 - t^{2 } }{1 + t^{2 } } }{ \displaystyle\frac{2t}{1 + t^{2 } } }) \Leftrightarrow d_{2 } ^{2 } = 45^{2 } - 840\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1 + t^{2 } - 1 + t^{2 } }{1 + t^{2 } } }{\displaystyle \frac{2t}{1 + t^{2 } } } \Leftrightarrow[/tex]
[tex]d_{2 } ^{2 } = 2025 -840.t \Leftrightarrow d_{2 } ^{2 } = 2025 -840. \frac{5}{3} = 1521 = 39^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow d_{2 } = 39 $$
Самостоятелно можете да разгледате случая,когато [tex]d_{2 } = 25[/tex] и търсите [tex]d_{1 }[/tex]

Скрит текст: покажи

Надявам се да няма технически грешки.Мисля,че идеята е ясна