Решаване на успоредник

[Гост]

Здравейте, бихте ли помогнали с тези две задачи?

1. Лицето на успоредник е равно на 36 см, а разстоянието от пресечната точка на диагоналите до страните му са 3 см и 4 см. Страните на успоредника са:
2. Отношението на две съседни страни на успоредник ABCD е равно на m (m>1). АМ е ъглополовяща на ъгъл А. Отношението S ABCM: S AMD е равно на:

[peyo]

Здравейте, бихте ли помогнали с тези две задачи?

1. Лицето на успоредник е равно на 36 см, а разстоянието от пресечната точка на диагоналите до страните му са 3 см и 4 см. Страните на успоредника са:

Това не е възможно:

https://www.geogebra.org/classic/wb8heyht

Минималното лице е 48.

Screenshot 2024-02-06 065343.jpg (172.85 KiB) Прегледано 1998 пъти

[S.B.]

Здравейте, бихте ли помогнали с тези две задачи?

1. Лицето на успоредник е равно на 36 см, а разстоянието от пресечната точка на диагоналите до страните му са 3 см и 4 см. Страните на успоредника са:
2. Отношението на две съседни страни на успоредник ABCD е равно на m (m>1). АМ е ъглополовяща на ъгъл А. Отношението S ABCM: S AMD е равно на:

Без заглавие - 2024-02-06T163833.258.png (301.76 KiB) Прегледано 1975 пъти

Първа задача:
Нека $AB = CD = a , AD = BC = b$ , [tex]AC \cap BD = O , OM \bot AB,OM = 3 , ON \bot AD, ON = 4 , C N_{1 } \bot AD , C M_{1 } \bot AB[/tex]
За [tex]\triangle A M_{1 }C[/tex]:
$OM$ е средна отсечка [tex]\Rightarrow C M_{1 } = 2.OM = 6[/tex]
[tex]S_{ABCD } = AB.C M_{1 } \Leftrightarrow 36 = a.6 \Rightarrow a = 6[/tex]

За [tex]\triangle AC N_{1 }[/tex]:
$ON$ е средна отсечка [tex]\Rightarrow C N_{1 } = 2.ON = 8[/tex]
[tex]S_{ABCD } = AD.C N_{1 } \Leftrightarrow 36 = b.8 \Rightarrow b = 4,5[/tex]
$$\Rightarrow AB = CD = 6 cm, BC = DA = 4,5 cm$$

Втора задача:
Нека $AB = CD = a, BC = AD = b , a>b$
[tex]\frac{a}{b} = m >1 \Rightarrow a = m.b[/tex]

$АМ$ е ъглополовяща на [tex]\angle A, \Rightarrow \angle BAM = \angle DAM = \alpha[/tex]
[tex]\angle DMA = \angle DAM[/tex] като кръстни [tex]\Rightarrow \angle DMA = \alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle AMD[/tex] е равнобедрен и $AD = DM = b$
[tex]AH \bot DC, AH = h[/tex]
[tex]S_{AMD } = \frac{AM.AH}{2} \Leftrightarrow S_{AMD } = \frac{b.h}{2}[/tex]
четириъгълник,на който две от страните са успоредни,но другите две не са успоредни е трапец
[tex]\Rightarrow ABCM[/tex] е трапец
[tex]S_{ABCM } = \frac{AB + MC}{2}.AH \Leftrightarrow S_{ABCM } = \frac{a + a - b}{2}.h= \frac{2a - b}{2}h = \frac{2.mb - b}{2}.h = \frac{b(2m-1)}{2}.h[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{ S_{ABCM } }{ S_{AMD } } = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{b(2m-1)}{2}.h }{\displaystyle \frac{b.h}{2} } = 2m-1[/tex]

[peyo]

1. Лицето на успоредник е равно на 36 см, а разстоянието от пресечната точка на диагоналите до страните му са 3 см и 4 см. Страните на успоредника са:

Първа задача:
Нека $AB = CD = a , AD = BC = b$ , [tex]AC \cap BD = O , OM \bot AB,OM = 3 , ON \bot AD, ON = 4 , C N_{1 } \bot AD , C M_{1 } \bot AB[/tex]
За [tex]\triangle A M_{1 }C[/tex]:
$OM$ е средна отсечка [tex]\Rightarrow C M_{1 } = 2.OM = 6[/tex]
[tex]S_{ABCD } = AB.C M_{1 } \Leftrightarrow 36 = a.6 \Rightarrow a = 6[/tex]

За [tex]\triangle AC N_{1 }[/tex]:
$ON$ е средна отсечка [tex]\Rightarrow C N_{1 } = 2.ON = 8[/tex]
[tex]S_{ABCD } = AD.C N_{1 } \Leftrightarrow 36 = b.8 \Rightarrow b = 4,5[/tex]
$$\Rightarrow AB = CD = 6 cm, BC = DA = 4,5 cm$$

Хммм... нещо не е наред тук.
Ако успоредника има страни 6 и 4.5, то максимално лице ще има когато е правоъгълник и ще бъде 6*4.5 =27. Но по условие лицето е 36 и никога не може да стане 36 със страни 6 и 4.5.

[S.B.]

Хммм... нещо не е наред тук.
Ако успоредника има страни 6 и 4.5, то максимално лице ще има когато е правоъгълник и ще бъде 6*4.5 =27. Но по условие лицето е 36 и никога не може да стане 36 със страни 6 и 4.5.

Уважаеми колега peyo,
Може би трябваше да се съобразя с Вашето изследване,което доказва,че има грешка в условието.
Твърдя,че моето РЕШЕНИЕ на така поставеното условие е вярно.
Предлагам следното условие:
Нека лицето на успоредника е [tex]S cm^{2 }[/tex], разстоянията от пресечната точка на диагоналите до страните $a$ и $b$ са съответно [tex]d_{1 }[/tex] и [tex]d_{2 }[/tex]
Тогава за страните $a$ и $b$ ще получим:
$$a = \frac{S}{2 d_{1 } } ; b = \frac{S}{2 d_{2 } } $$

Всъщност не е ясно къде е грешката - в лицето или в разстоянията?!

[peyo]

Хммм... нещо не е наред тук.
Ако успоредника има страни 6 и 4.5, то максимално лице ще има когато е правоъгълник и ще бъде 6*4.5 =27. Но по условие лицето е 36 и никога не може да стане 36 със страни 6 и 4.5.

Уважаеми колега peyo,
Може би трябваше да се съобразя с Вашето изследване,което доказва,че има грешка в условието.
Твърдя,че моето РЕШЕНИЕ на така поставеното условие е вярно.
Предлагам следното условие:
Нека лицето на успоредника е [tex]S cm^{2 }[/tex], разстоянията от пресечната точка на диагоналите до страните $a$ и $b$ са съответно [tex]d_{1 }[/tex] и [tex]d_{2 }[/tex]
Тогава за страните $a$ и $b$ ще получим:
$$a = \frac{S}{2 d_{1 } } ; b = \frac{S}{2 d_{2 } } $$

Всъщност не е ясно къде е грешката - в лицето или в разстоянията?!

Доколкото мога да преценя решението Ви е вярно и се учудух, че някъде не получаваме отрицателни разстояние или нещо такова. Едновременно отговора е грешен. Много интересен математатически парадокс!

[ammornil]

Успоредник с такова лице при така зададени разстояния от пресечната точка на диагоналите до страните не може да съществува. Ако разстоянията от пресечната точка на диагоналите до страните са [tex]m[/tex] към по-голямата страна и [tex]n[/tex] към по-малката, то [tex]\sin{\alpha}=\frac{2m}{a}=\frac{2n}{b}\le1 \Rightarrow S=\frac{2m}{\sin{\alpha}}\cdot{\frac{2n}{\sin{\alpha}}}\cdot{\sin{\alpha}} \Rightarrow[/tex]$$ \sin{\alpha}=\frac{4\cdot{m}\cdot{n}}{S}\le{1} $$
Това, че нещо може да се пресметне, не прави нещото реално.

[Гост]

Здравейте, на втора задача защо външната височина участва в лицето на триъгълник АМD и защо АМ (според мен сте имали предвид DМ) е равна на b? Благодаря Ви предварително

[Гост]

Ще се радвам, ако някой все пак реши да отговори на въпроса ми.

[ammornil]

Здравейте, на втора задача защо външната височина участва в лицето на триъгълник АМD и защо АМ (според мен сте имали предвид DМ) е равна на b? Благодаря Ви предварително

$\\[24pt]$Печатна грешка, предполагам. Колежката е имала предвид $S_{\triangle{AMD}}=\dfrac{MD\cdot{}AH}{2}$, както се вижда от заместването което е направила $S_{\triangle{AMD}}=\dfrac{\overset{{MD}}{\overbrace{a}}\cdot{}h}{2}.\\[6pt] \triangle{AMD} \quad \angle{DAM}=\angle{AMD}=\alpha \Rightarrow MD=DA \\[6pt]$ Височина от остър връх на тъпоъгълен триъгълник винаги лежи извън триъгълника и петата ѝ лежи на продължението на страната, лежаща срещу върха на избрания остър ъгъл.

[ptj]

[tex][/tex]По повод несъществуването на успоредник с лице 36 ,
в който разстоянията от пресечената точка на диагоналите до страните са съответно 3 и 4 сте в голяма грешка.

Горните 3 данни определят напълно един успоредник. По-точно при фиксирани последни 2, лицето винаги има минимум и максумум, като съгласно принципа за непрекъснатост неговата стойност може да бъде всяко едно реално число намиращо се между тях.

Самото решение е свръх елементарно:

Пресечената точка на диагоналите разделя успоредника на 4 равнолицеви триъгълника.

Tова лесно се вижда като разгледаме два съседни от тях и използваме формулата [tex]S=a.b.sin( \varphi ).[/tex] , т.е. чрез половинките диагонали и синуса на ъгъла между тях.

Тогава автоматично може да кажем, че [tex]\frac{3a}{2}= \frac{S}{4}=9 \Leftrightarrow a= 6[/tex] и [tex]\frac{4b}{2}=9 \Leftrightarrow b=4.5[/tex].

П.П. Още повече, че от тук чрез аркус синус може да намерите ъглите, които диагонала сключва с двете страни, а после по намерени 2 страни и остър ъгъл да построите успоредника и да докажете, че отговаря на условието.

Забележките са хубаво нещо, но когато мислите някое решение за сгрешено по-добре просто публикувайте своето с правилен отговор.

[ammornil]

Тогава автоматично може да кажем, че [tex]\frac{3a}{2}= \frac{S}{4}=9 \Leftrightarrow a= 6[/tex] и [tex]\frac{4b}{2}=9 \Leftrightarrow b=4.5[/tex].

Хайде сега намерете максималното лице на успоредника с тези две страни да е по-голямо или равно на даденото по условие лице 36.

$\sin_{max}{\alpha}=1, S_{max}=a\cdot{}b=6\cdot{}4,5=27$

Можете да го погледнете и така: височина към едната страна на успоредника не може да е по-голяма от другата страна, а в случая страните Ви се получават 4,5 и 6, а височините към тях са съответно 8 и 6, за да се спази лицето.

Никой не твърди, че решението е невярно. Твърдението е, че условието е невярно.

[ptj]

Извинявам се, едва сега разбрах получения парадокс. Наистина такъв успоредник не съществува.
Предполагам, че ако сметна ъгълите между бедрото и двете съседни страни и ги събера (за да получа ъгъла между две съседни страни) ще се получи изправен ъгъл.

П.П. Всъщност грешката от моя страна бе, че не довърших докарай собствените си указания за проверка коректността на условието.

[ptj]

Извинявам се, едва сега разбрах получения парадокс. Наистина такъв успоредник не съществува.
Предполагам, че ако сметна ъгълите между бедрото и двете съседни страни и ги събера (за да получа ъгъла между две съседни страни) ще се получи изправен ъгъл.

П.П. Всъщност грешката от моя страна бе, че не довърших докарай собствените си указания за проверка коректността на условието.

Правилния термин не е "изправен ъгъл", а вдлъбнат ъгъл, т.е. ъгъл между [tex]180 ^\circ[/tex] и [tex]360 ^\circ[/tex].