Задача с вписан четириъгълник

[Гост]

Четириъгълникът ABCD със страни AB= 19 cm, BC = 7 cm, CD = 15 cm и AD = 21 cm е вписан в окръжност. Правите АВ и CD се пресичат в точка М. Намерете отношението на лицата на [tex]\triangle[/tex]AMD и четириъгълника АBCD.

[Евва]

т.М е външна за окръжността [tex]\Rightarrow[/tex] MB.MA=MC.MD |: (MB.MC)[tex]\ne[/tex]0
[tex]\frac{AM}{MC} = \frac{MD}{BM}[/tex] (1) и добавяме факта ,че [tex]\angle[/tex]AMD=[tex]\angle[/tex]BMC (2) [tex]\Rightarrow[/tex] по 2 признак [tex]\triangle[/tex]AMD[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]BMC (3)

(по Херон ,защото четириъг. е вписан) [tex]S_{ABCD }[/tex]= [tex]\sqrt{(p-AB)(p-BC)(p-CD)(p-AD)}[/tex]

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\sqrt{(31-19)(31-7)(31-15)(31-21)}[/tex]=24[tex]\sqrt{30}[/tex] [tex]см.^{2 }[/tex] (4)

От (3) следва ,че [tex]\frac{ S_{AMD } }{ S_{BMC } }[/tex]=[tex]\frac{ AD^{2 } }{ BC^{2 } }[/tex] ; [tex]\frac{ S_{AMD } }{ S_{AMD }- S_{ABCD } }[/tex]=[tex]\frac{ 21^{2 } }{ 7^{2 } }[/tex]= 9

[tex]S_{AMD }[/tex]=9[tex]S_{AMD }[/tex]-216[tex]\sqrt{30}[/tex]

[tex]S_{AMD }[/tex]=27[tex]\sqrt{30}[/tex] [tex]см.^{2 }[/tex] (5)

От (4) и (5) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ S_{AMD } }{ S_{ABCD } }[/tex]=[tex]\frac{27 \sqrt{30} }{24 \sqrt{30} }[/tex]= [tex]\frac{9}{8}[/tex]

[Гост]

Благодаря много!