Трапец

[Гост]

Основите на трапец са равни на 5 см и 10 см. Диагоналите му са перпендикулярни, а ъгълът между продълженията на бедрата му е 60°. Да се намери лицето на трапеца.

[S.B.]

Основите на трапец са равни на 5 см и 10 см. Диагоналите му са перпендикулярни, а ъгълът между продълженията на бедрата му е 60°. Да се намери лицето на трапеца.

Без заглавие - 2024-06-02T134600.565.png (281.54 KiB) Прегледано 244 пъти

[tex]BD = d_{1 }, AC = d_{2 }, d_{1 } \bot d_{2 } , d_{1 } \cap d_{2 } = O[/tex]
[tex]AD = a , BC = b , CH = h[/tex]
Подлагам $BD$ на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] при която [tex]D \rightarrow C, B \rightarrow P[/tex]
[tex]\triangle BPC[/tex] е правоъгълен и за него прилагам Питагорова теорема :
[tex]d_{1 } ^{2 } + d_{2 } ^{2 } = 15 ^{2 } \Leftrightarrow d_{1 } ^{2 } + d_{2 } ^{2 } = 225[/tex]
Подлагам $AD$ на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] при която [tex]D \rightarrow C , A \rightarrow N[/tex]
За [tex]\triangle NBC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]5^{2 } = a^{2 } + b^{2 } - 2ab\cos 60 ^\circ \Leftrightarrow a^{2 } + b^{2 } - ab = 25[/tex]

[tex]\triangle AOB \approx \triangle COD[/tex] с коефициент $2:1$[tex]\Rightarrow AO: OC = BO: OD = 2:1[/tex]
[tex]AO = \frac{2}{3} d_{2 } , CO = \frac{1}{3} d_{2 }[/tex]. Аналогично [tex]BO = \frac{2}{3} d_{1 }, OD = \frac{1}{3} d_{1 }[/tex]

За [tex]\triangle AOD[/tex] прилагам Питагорова теорема: [tex]AD^{2 } = AO^{2 } + OD^{2 } \Leftrightarrow a^{2 } = ( \frac{2}{3 } d_{1 } ) ^{2 } + ( \frac{1}{3} d_{2 }) ^{2 } \Rightarrow a^{2 } = \frac{4}{9} d_{1 } ^{2 } + \frac{1}{9} d_{2 } ^{2 }[/tex]
[tex]\Rightarrow 9a^{2 } = 4 d_{1 } ^{2 } + d_{2 } ^{2 }[/tex] (1)
Аналогично за [tex]\triangle BOC[/tex] се получава:
[tex]9b^{2 } = d_{1 } ^{2 } + 4 d_{2 } ^{2 }[/tex] (2)

Сумирам равенства (1) и (2) и получавам:

[tex]9( a^{2 } + b^{2 } ) = 5( d_{1 } ^{2 } + d_{2 } ^{2 }) \Leftrightarrow 9(a^{2 } + b^{2 }) = 5.225 \Leftrightarrow a^{2 } + b^{2 } = \frac{5.225}{9}[/tex]

Тогава [tex]a^{2 } + b^{2 } - ab = 25 \Leftrightarrow \frac{5.225}{9} - ab = 25 \Leftrightarrow \frac{1125}{9}- 25 = ab \Leftrightarrow ab = \frac{900}{9}[/tex]
$$\Rightarrow ab = 100$$
[tex]S_{NBC } = \frac{ab}{2}\sin 60 ^\circ \Leftrightarrow S_{NBC } = \frac{100}{2} \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow S_{NBC } = 25 \sqrt{3}[/tex]
Но [tex]S_{NBC } = \frac{NB.h}{2} \Leftrightarrow \frac{NB.h}{2} = 25 \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{5h}{2} = 25 \sqrt{3} \Rightarrow h = 10 \sqrt{3}[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}.h \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{15}{2}.10 \sqrt{3}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = 75 \sqrt{3} $$

Скрит текст: покажи

Съжалявам,че не успях да начертая диагоналите взимно перпендикулярни,но съм означила ъгъла между тях че е = [tex]90^\circ[/tex].Чертежа е доста претрупан,но такава е задачата