Задачи за 8 клас

[Гост]

Спешно ми трябва помощ с тези три задачи:
зад 1 В трапеца ABCD (AB||CD) диагоналите AC и BD са перпендикулярни и BD=18. Ако Sabcd=198, намерете дължината на диагонала AC.

зад 2 Периметърът на квадрата ABCD е 48. Точките M и N съответно от страните BC и CD са такива, че [tex]\angle[/tex]MAN=45[tex]^\circ[/tex]. Намерете периметъра на [tex]\triangle[/tex]MNC.

зад 3 В остроъгълния [tex]\triangle[/tex]ABC са построени височините AA1 (A1[tex]\in[/tex]BC) и BB1 (B1[tex]\in[/tex]AC). Ако [tex]\angle[/tex] ACB=60[tex]^\circ[/tex] и AB=12 см, намерете дължината на отсечката A1B1 в сантиметри.

[ptj]

1.) По принцип има готова формула за лице на четириъгълник [tex]S= \frac{1}{2} d_1.d_2.sin( \varphi )[/tex], където [tex]\varphi[/tex] е ъгъла между тях.

За съжаление в 8-ми клас още не знаете какво е синус на ъгъл.

Но това не е голям проблем, защото [tex]sin(90 ^\circ )=1[/tex] и съответно при прав ъгъл формулата се трансформира в [tex]S= \frac{1}{2} d_1.d_2[/tex].

Въпроса е дали знаете тази формула, ако "да" то само трябва да я приложите...
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
При отговор "не" предполагам, че ще искат нейното доказателство, което не е трудно:

[tex]AC=d_1, BD=d_2[/tex] и нека пресечената точка на диагоналите е [tex]О[/tex].

[tex]S_{ABCD}=S _{\triangle ABC}+S_{ \triangle ACD}= \frac{AC.ОB}{2}+ \frac{AC.OD}{2}= \frac{AC(BO+OD)}{2} = \frac{AC.BD}{2}= \frac{d_1.d_2}{2}[/tex].

Тук отново се иска да приложите последно доказаната формула, за да намерите [tex]AC[/tex]...

П.П. За това подусловие четириъгълника може да е произволен (т.е. не е необходимо да е трапец).

--------------------------------------------------------------------------------------------

2.) Отговора е : [tex]P_{\triangle MNC}=2a= \frac{P}{2}=24[/tex]

Построй точка [tex]K[/tex] върху лъча [tex]DN[/tex], така че [tex]AK=CM[/tex].

[tex]\triangle BCM \cong \triangle BAK[/tex] (два по два съответно равни катети, т.е. I-ви признак)

[tex]KB=MB, \angle{KBN}=\angle{MBN}=45 ^\circ, BN-[/tex] обща [tex]\Rightarrow \triangle MBN= \triangle KBN \Rightarrow KN=NM[/tex]

Понеже [tex]АК=MC[/tex] , то [tex]NM=KA+AN=CM+AN.

Тогава [tex]P \triangle NMD=DN+NM+MD=DN+(NA+CM)+MD=AD+CD=2a[/tex]

Извинявам, но съм сменил буквите на чертежа си.

При мен [tex]N[/tex] лежи на [tex]AD[/tex] и [tex]М[/tex] съответно на [tex]CD[/tex]. Като съответно [tex]\angle MBN=45 ^\circ[/tex].

------------------------------------------------------------------------------------

3-та е лесна:

Прилагаш два пъти : страна срещу ъгъл от [tex]30^\circ[/tex] в правоъгълен триъгълник е равна на половината хипотенуза и намираш съответно :

[tex]CA_1= \frac{AC}{2}[/tex] и [tex]CB_1= \frac{BC}{2}[/tex].

[tex]B_1A_1[/tex] прилича на средна отсечка, но е по-различна спрямо определението.

Хитростта е да се сетиш да построиш средната отсечка. Нека [tex]N[/tex] и [tex]М[/tex] са среди съответно на [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex].

Лесно се вижда, че [tex]\triangle NCM \cong \triangle A_1CB_1 \Rightarrow NM=A_1B_1[/tex] (I-ви признак).

Сл. [tex]A_1B_1= \frac{AB}{2}=6[/tex]

[Гост]

Много благодаря!