Трапец

[MMia]

Може ли помощ с тази задача? Благодаря!


Около трапец АBCD с основи АВ = CD (AB > CD) е описана окръжност с радиус R, на която АВ е диаметър.
а) Ако CD = R, да се докаже, че лицето на трапеца е равно на 3√3. R2 /4
б) При каква стойност на < DAB лицето на трапеца е най-голямо.

[ammornil]

Може ли помощ с тази задача? Благодаря!


Около трапец АBCD с основи АВ = CD (AB > CD) е описана окръжност с радиус R, на която АВ е диаметър.
а) Ако CD = R, да се докаже, че лицето на трапеца е равно на 3√3. R2 /4
б) При каква стойност на < DAB лицето на трапеца е най-голямо.

$\\[12pt]$

Screenshot 2025-01-14 134206.png (38.99 KiB) Прегледано 205 пъти

$\\[12pt] ABCD - \text{вписан трапец} \Rightarrow AD=BC \\ [6pt] \begin{cases} CO=DO=R \\ CD=R \end{cases} \Rightarrow \triangle{DOC}: \quad OD=DC=CO=R \Rightarrow \angle{ODC}=60^{\circ} \\[6pt] AB\|CD \Rightarrow \angle{AOD}=\angle{ODC}=60^{\circ} \text{ кръстни} \\[6pt] \triangle{AOD}: \quad \begin{cases} AO=OD=R \\ \angle{AOD}=60^{\circ} \end{cases} \Rightarrow AO=OD=DA=R \\[6pt] D_{1}\in{}AB, DD_{1}\bot{}AB=h_{тр.}, \triangle{AOD} - \text{ равностранен} \Rightarrow DD_{1}=\dfrac{AO\cdot{}\sqrt{3}}{2} \Rightarrow h_{тр.}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2} \\[6pt] S_{ABCD}=\dfrac{AB+CD}{2}\cdot{}DD_{1}=\dfrac{2R+R}{2}\cdot{}\dfrac{R\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}R^{2}}{4} \\[36pt]$

Screenshot 2025-01-14 140501.png (35.75 KiB) Прегледано 205 пъти

$\\[12pt] ABCD - \text{вписан трапец} \Rightarrow BC=AD \\[6pt] \therefore{} \angle{BAD}=\angle{ABD}=\alpha \\[6pt] \begin{cases} D_{1}\in{}AB, DD_{1}\bot{}AB \\ C_{1}\in{}AB, CC_{1}\bot{}AB\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} DD_{1} \overset{\|}{=} CC_{1} \\ D_{1}C_{1}\|DC \end{cases} \Rightarrow D_{1}C_{1}=DC=x \\[6pt] \triangle{AOD}: \quad AO=DO=R \Rightarrow \angle{ADO}=\angle{DAO}=\alpha \Rightarrow \angle{AOD}=180^{\circ}-2\alpha \\[6pt] \quad \dfrac{AD}{\sin{(180^{\circ}-2\alpha)}}=\dfrac{OD}{\sin{\alpha}} \Leftrightarrow AD=\dfrac{R\cdot{\sin{2\alpha}}}{\sin{\alpha}} \Leftrightarrow AD=2\cdot{}R\cdot{}\cos{\alpha} \\[6pt] \quad DD_{1}=AD \cdot{}\sin{\alpha}=2\cdot{}R\cdot{}\sin{\alpha}\cdot{}\cos{\alpha} \\[6pt] \triangle{AD_{1}D}\cong \triangle{BC_{1}C}, \quad \begin{cases}\text{правоъгълни} \\ DD_{1}=CC_{1} \\ AD=BC \end{cases}, \quad \Rightarrow AD_{1}=BC_{1}=AD\cdot{}\cos{\alpha}=2R\cos^{2}{\alpha} \\[6pt] AB=AD_{1}+D_{1}C_{1}+C_{1}B \Leftrightarrow 2R=2R\cos^{2}{\alpha}+x+2R\cos^{2}{\alpha} \\[6pt] \quad \Rightarrow x=2R(1-2\cos^{2}{\alpha})=-2R\cos{2\alpha}\\[12pt] S_{ABCD}=\dfrac{AB+CD}{2}\cdot{}DD_{1}=\dfrac{2R-2R\cos{2\alpha}}{2}\cdot{}2\cdot{}R\cdot{}\sin{\alpha}\cdot{}\cos{\alpha}=R^{2}(1-\cos{2\alpha})\sin{2\alpha}\\[12pt] t=2\alpha, \quad 45^{\circ}< \alpha< 90^{\circ} \Rightarrow 90^{\circ}<t<180^{\circ} \quad \therefore{} f(t)= 2R^{2} (1-\cos{t})\sin{t} \\[6pt] f'(t)=2R^{2}\begin{bmatrix} -(-\sin{t})\cdot{}\sin{t}+(1-\cos{t})\cdot{}\cos{t} \end{bmatrix}=2R^{2}\begin{bmatrix}1-\cos^{2}{t}+\cos{t}-\cos^{2}{t} \end{bmatrix}=2R^{2}(1+\cos{t}-2\cos^{2}{t})=0\\[6pt] \Rightarrow 2\cos^{2}{t}-\cos{t}-1=0 \quad{} \cos_{1,2}{t}=\dfrac{1\pm{}\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot{}2\cdot{(-1)}}}{2\cdot{}2}=\dfrac{1\pm{}3}{4} \\[6pt] \quad 90^{\circ}<t<180^{\circ} \Rightarrow \cos{t}<0 \Rightarrow \cos{t}=\dfrac{1-3}{4}=-\dfrac{1}{2} \Rightarrow t=120^{\circ} \Rightarrow 2\alpha=120^{\circ} \Rightarrow \alpha=60^{\circ}\\[24pt]$Прегледайте сметките за грешки.

[Гост]

Благодаря Ви!