Намерете лицето на равнобедрен трапец

[Гост]

Здравейте , задачата е следната :

Дадени са височината - h и ъгъл м/у
диагоналите [tex]\varphi[/tex] . Намерете
лицето на равнобедрения трапец.

[S.B.]

Здравейте , задачата е следната :

Дадени са височината - h и ъгъл м/у
диагоналите [tex]\varphi[/tex] . Намерете
лицето на равнобедрения трапец.

Без заглавие - 2025-01-23T172134.229.png (219.03 KiB) Прегледано 2982 пъти

Подлагам на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] диагонала $BD$,при което:
[tex]D \rightarrow C, B \rightarrow B_{1 }, \angle AOB = \angle AC B_{1 } ,DB = C B_{1 }[/tex]
[tex]\triangle A B_{1 }C[/tex] е равнолицев с трапеца $ABCD$ (ЗАЩО?)
[tex]\begin{cases} AC = BD \\ BD = C B_{1 } \end{cases} \Rightarrow AC = C B_{1 } \Rightarrow \triangle A B_{1 }C[/tex] е равнобедрен.

От [tex]\triangle AHC \rightarrow \frac{CH}{AC} = \cos \frac{ \varphi }{2} \Leftrightarrow \frac{h}{AC} = \cos \frac{ \varphi }{2}[/tex]
$$\Rightarrow AC = \frac{h}{\cos \frac{ \varphi }{2} } $$
[tex]S_{A B_{1 }C } = \frac{1}{2}.AC. B_{1 } C.\sin \varphi \Leftrightarrow S_{A B_{1 }C } = \frac{1}{2 } \frac{ h^{2 } }{ \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} } .\sin \varphi = \frac{1}{2} h^{2 }. \frac{2\sin \frac{ \varphi }{2}.\cos \frac{ \varphi }{2} }{ \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} }[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = S_{A B_{1 } C} = h^{2 }.\tg \frac{ \varphi }{2}$$

[Гост]

И аз я реших така, но ме домързя да напиша

[S.B.]

И аз я реших така, но ме домързя да напиша

Мързелът е качество присъщо само на великите математици!Такъв е бил проф.Никола Обрешков.
Поздравления!

[Гост]

Благодаря , сега ако може и тази :

Равнобедрен трапец е вписан в окръжност
Дадени са голяма основа а и ъгъл [tex]\alpha[/tex] при
основата.Да се намери лицето на трапеца.

[Гост]

Благодаря , сега ако може и тази :

Равнобедрен трапец е вписан в окръжност
Дадени са голяма основа а и ъгъл [tex]\alpha[/tex] при
основата.Да се намери лицето на трапеца.

Струва ми се ,че условието е непълно.Това,че е равнобедрен и вписан в окръжност е едно и също нещо.Има още нещо,което пропускате.

[Гост]

Около окръжност е описан равнобедрен трапец
това е условието , сигурно съм го объркал..

[ptj]

[tex]\frac{r}{ \frac{a}{2}}=tg( \frac{ \alpha }{2} ) \Rightarrow r= \frac{a}{2}.tg( \frac{ \alpha }{2} )[/tex]

Аналогично малката основа:
[tex]\frac{r}{ \frac{c}{2}}=tg( \frac{180 ^\circ - \alpha }{2} ) \Rightarrow c= \frac{r}{2.tg(90- \frac{ \alpha }{2}) }= \frac{r}{2.ctg( \frac{ \alpha }{2} )}= \frac{r.tg( \frac{ \alpha }{2} )}{2}[/tex]

[tex]S= \frac{1}{2}(a+b+c+d).r= \frac{2}{2}(a+c).r=(a+ \frac{r.tg ( \frac{ \alpha }{2} ) }{2}).\frac{a}{2}.tg( \frac{ \alpha }{2} )=[/tex]

[tex]=\big(a+ \frac{a}{4}.tg^2( \frac{ \alpha }{2} )\big).\frac{a}{2}.tg( \frac{ \alpha }{2} )= \frac{a^2.tg( \frac{ \alpha }{2} )}{2}\big(1+ \frac{tg^2( \frac{ \alpha }{2} )}{4} \big)[/tex]

[S.B.]

Около окръжност е описан равнобедрен трапец
това е условието , сигурно съм го объркал..

Без заглавие - 2025-01-25T072958.535.png (242.61 KiB) Прегледано 2917 пъти

Разликата между първия вариант на условието и втория е огромна!

Приемам,че условието е:
Около окръжност с център $O$ е описан равнобедрения трапец $ABCD$ с голяма основа $AB = a$ и [tex]\angle DAB = \alpha[/tex].
Да се определи лицето на трапеца

Нека $CD = c$
Равнобедрения трапец $ABCD$ е описан около окръжност [tex]\Rightarrow AB + CD = 2AD \Leftrightarrow \frac{1}{2} P_{ABCD }=p = a+c[/tex]
$$S_{ABCD } = p.r = (a + c).r$$
$AO$ и $DO$ са ъглополовящи, [tex]\angle A[/tex] и [tex]\angle D[/tex] са прилежащи [tex]\Rightarrow \angle AOD = 90 ^\circ , \triangle AOD[/tex] е правоъгълен.
[tex]OT \bot AD , OT = r, AT = AQ = \frac{a}{2}, DT = DP = \frac{c}{2}[/tex]
От метричните свойства в правоъгълен триъгълник [tex]\rightarrow OT^{2 } = AT.DT \Leftrightarrow r^{2 } = \frac{a}{2} \frac{c}{2}[/tex]
$$\Rightarrow 4 r^{2 } = a.c$$

От [tex]\triangle AOT \rightarrow \frac{OT}{AT} = \tg \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow r = \frac{a}{2}\tg \frac{ \alpha }{2}[/tex]

[tex]4r^{2 } = a.c \Leftrightarrow c = \frac{4 }{a}. r^{2 } \Rightarrow c = \frac{4}{a} \frac{ a^{2 } }{4} \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow c = a \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2}[/tex]

[tex]S_{ABCD } = p.r \Leftrightarrow S_{ABCD } = (a + a .tg^{2 } \frac{ \alpha }{2}). \frac{a}{2}.\tg \frac{ \alpha }{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = \frac{ a^{2 }.\tg \frac{ \alpha }{2} }{2. \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} }$$

[Гост]

Нещо отговорите на ptj и S.B. се различават, което значи, че поне единият от тях е грешен

[Гост]

Ясно , а как се пресмята косинуса на края
на задачата ?

[S.B.]

Нещо отговорите на ptj и S.B. се различават, което значи, че поне единият от тях е грешен

Ако се постараете да преработите отговора на ptj би трябвало да получите моя отговор.Зависи от това до каква степен сте изучили преобразованията в тригонометрията.Наистина е смешно,че не владеете тригонометричните преобразувания!

[S.B.]

Ясно , а как се пресмята косинуса на края
на задачата ?

Косинуса е функция на ъгъла.Ако знаете ъгъла ще намерите и косинуса - има таблици и т.н.
Още един пропуск в знанията Ви.

[Гост]

Нещо отговорите на ptj и S.B. се различават, което значи, че поне единият от тях е грешен

Ако се постараете да преработите отговора на ptj би трябвало да получите моя отговор.Зависи от това до каква степен сте изучили преобразованията в тригонометрията.Наистина е смешно,че не владеете тригонометричните преобразувания!

Има една 4-ка в знаменателя дето пречи да се получи същия отг.

[S.B.]

Има една 4-ка в знаменателя дето пречи да се получи същия отг.

Прегледах моето решение,но не открих грешка .Всичко е точно и чертежа и сметките.
Колкото до 4-ката в знаменателя на колегата ptj - аз не се наемам да коментирам чуждо решение,за което нито чертеж има,нито обяснения.

[ptj]

[tex]\frac{r}{ \frac{a}{2}}=tg( \frac{ \alpha }{2} ) \Rightarrow r= \frac{a}{2}.tg( \frac{ \alpha }{2} )[/tex]

Аналогично малката основа:
[tex]\frac{r}{ \frac{c}{2}}=tg( \frac{180 ^\circ - \alpha }{2} ) \Rightarrow c= \frac{r}{2.tg(90- \frac{ \alpha }{2}) }= \frac{r}{2.ctg( \frac{ \alpha }{2} )}= \frac{r.tg( \frac{ \alpha }{2} )}{2}[/tex]

[tex]S= \frac{1}{2}(a+b+c+d).r= \frac{2}{2}(a+c).r=(a+ \frac{r.tg ( \frac{ \alpha }{2} ) }{2}).\frac{a}{2}.tg( \frac{ \alpha }{2} )=[/tex]

[tex]=\big(a+ \frac{a}{4}.tg^2( \frac{ \alpha }{2} )\big).\frac{a}{2}.tg( \frac{ \alpha }{2} )= \frac{a^2.tg( \frac{ \alpha }{2} )}{2}\big(1+ \frac{tg^2( \frac{ \alpha }{2} )}{4} \big)[/tex]

Имам техническа грешка на втория ред, правилния запис е :

Aналогично малката основа:
[tex]\frac{r}{ \frac{c}{2}}=tg( \frac{180 ^\circ - \alpha }{2} ) \Rightarrow c= \frac{2r}{tg(90- \frac{ \alpha }{2}) }= \frac{2r}{ctg( \frac{ \alpha }{2} )}= 2r.tg( \frac{ \alpha }{2} )[/tex]

Естествено останалите редове също трябва да се коригират спрямо горния резултат, т.е.:

[tex]S= \frac{1}{2}(a+b+c+d).r= \frac{2}{2}(a+c).r=\big(a+ 2r.tg ( \frac{ \alpha }{2} )\big).\frac{a}{2}.tg( \frac{ \alpha }{2} )=[/tex]

[tex]=\big(a+ a.tg^2( \frac{ \alpha }{2} )\big).\frac{a}{2}.tg( \frac{ \alpha }{2} )= \frac{a^2.tg( \frac{ \alpha }{2} )}{2}\big(1+ tg^2( \frac{ \alpha }{2} ) \big)[/tex]

П.П. Ако в три реда доказателство не можете да намерите грешката,
това означава само едно - главите ви са със сериозен недостиг на сиво вещество...

[Гост]

П.П. Ако в три реда доказателство не можете да намерите грешката,
това означава само едно - главите ви са със сериозен недостиг на сиво вещество...

Както виждам ,Вашето сиво вещество така бушува и прелива в тези три елементарни реда,че явно в главата Ви е останало точно толкова от него,колкото да обвините съфорумците,че не могат да открият грешките Ви!Дори не проумявате,че всеки носи лична отговорност за това което е написал!Никой не е длъжен да открива и коригира Вашите грешки!Явно Вие живеете с мисълта ,че след като Вашето самочувствие е два пръста над световното ниво,Вие сте безгрешен,а всички останали са виновни,че не пълзят по Вашите нещастни 4 реда доказателство за да Ви откриват грешките!Слезте на земята!!!!

[ptj]

Не визирах всички, а глупака злорадствоващ, че моя отговор бил различен от този на колежката...

Колкото до личната отговорност - именно вследствие на нея много често не пиша пълни решения и не коригирам грешки. Който е достатъчно умен може сам да провери верността на всичко.
Слепите преписвачи могат да не четат моите писания...