равнобедрен трапец

[Гост]

Здравейте, може ли да помогнете с тази задача:

В равнобедрен трапец височината е h. Бедрото се вижда от центъра на описаната окръжност под ъгъл 60 [tex]^\circ[/tex]. Лицето на трапеца е равно на:

[Гост]

Screenshot_1.png (19.49 KiB) Прегледано 289 пъти

[Гост]

Благодаря Ви. Това значи ли, че центърът на описаната окръжност съвпада с пресечната точка на диагоналите?

[Гост]

Благодаря Ви. Това значи ли, че центърът на описаната окръжност съвпада с пресечната точка на диагоналите?

Не.

Screenshot_1.png (19.86 KiB) Прегледано 263 пъти

[ptj]

Благодаря Ви. Това значи ли, че центърът на описаната окръжност съвпада с пресечната точка на диагоналите?

Не и в този случай, което се вижда и от черетежа. По принцип центъра на описаната окръжност е пресечената точка на симетралите за страните.

Ако трапеца е [tex]ABCD[/tex], a центъра на описаната му окръжност е [tex]О[/tex],

то като спуснете перпендикуляри от него към малката страна и едното бедро ще получите два еднакви правоъгълни триъгълника.

Като следствие [tex]\triangle BOC \cong \triangle COD \cong DOA[/tex]. защото всеки от тях е рабнобедрен и има един ъгъл [tex]60 ^\circ[/tex],

т.е. те се явяват равностранни.

Ако разгледами [tex]\angle AOB=\angle AOD+ \angle DOC+\angle COB=60 ^\circ +60 ^\circ +60 ^\circ =180 ^\circ[/tex].

Тогава т. [tex]O[/tex] се явява среда на [tex]AB[/tex].

Лицето на трапеца е сума на лицата на 3-те равностранни триъгълника, а всеки от тях има височина [tex]h[/tex],

т.е. съответно страните им ще са с дължина [tex]a= \frac{h}{sin(60 ^\circ) }= \frac{2h}{ \sqrt{3} }[/tex].

[tex]S_{ABCD}=3. \frac{a.h}{2}= h^2 \sqrt{3}[/tex]

П.П. Имам една малка техническа забележка:

Доколкото си спомням от моето време като ученик, приетото означението за котангес е [tex]"ctg"[/tex], а в по-старите четиризначни таблици може да срещнете и [tex]"cotg"[/tex].
Означението "cot" съм виждал за първи път върху клавишите на старите калкулатори. Не съм сигурен дали то не е прието в английскоговорящите страни.

[S.B.]

Здравейте, може ли да помогнете с тази задача:

В равнобедрен трапец височината е h. Бедрото се вижда от центъра на описаната окръжност под ъгъл 60 [tex]^\circ[/tex]. Лицето на трапеца е равно на:

Без заглавие - 2025-01-26T184155.602.png (269.02 KiB) Прегледано 262 пъти

Още един поглед върху задачата:
Бедрото $BC$ се вижда от центъра на описаната окръжност под ъгъл [tex]60 ^\circ \Rightarrow \angle BOC = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\angle BOC[/tex] е центърален ъгъл и се измерва с прилежащата на $BC$ дъга [tex]\Rightarrow \overset{\displaystyle\frown}{BC} = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\angle BAC[/tex] е вписан и се измерва със същата дъга.[tex]\angle BAC = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{BC}}{2} \Leftrightarrow \angle BAC = \displaystyle\frac{60 ^\circ }{2} \Rightarrow \angle BAC = 30 ^\circ[/tex]
Построявам [tex]CH \bot AB , H \in AB \Rightarrow CH = h[/tex]
От [tex]\triangle AHC \rightarrow AC = 2h[/tex] (защото $CH$ е катет лежащ срещу [tex]\angle CAH = 30 ^\circ[/tex]
Трапецът е равнобедрен и двата му диагонала са равни [tex]\Rightarrow DB = AC = 2h[/tex]
[tex]AC \cap BD = M, \triangle ABM[/tex] е равнобедрен с ъгли при основата равни на [tex]30 ^\circ \Rightarrow \angle AMB = 120 ^\circ[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{1}{2}AC.BD.\sin 120 ^\circ \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{1}{2} (2h)^{2 }. \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = h^{2 } \sqrt{3} $$