Правоъгълен трапец

[Гост]

Здравейте, може ли да помогнете с тази задача:
Даден е правоъгълен трапец с основи a и b (a>b) и по-малко бедро c. Намерете разстоянието от пресечната точка на диагоналите на трапеца до основата а и бедрото с.

[S.B.]

Здравейте, може ли да помогнете с тази задача:
Даден е правоъгълен трапец с основи a и b (a>b) и по-малко бедро c. Намерете разстоянието от пресечната точка на диагоналите на трапеца до основата а и бедрото с.

Без заглавие - 2025-01-28T214107.837.png (244.58 KiB) Прегледано 190 пъти

[tex]AC \cap BD = O[/tex]
$AB = a,CD = b ,AD = c$
1)Разстоянието от т.$O$ до $AD$
Построявам: [tex]OP \bot AD, A_{1 } B ||AC[/tex]

[tex]\triangle AOD \approx A_{1 } BD \Rightarrow \frac{DO}{DB} = \frac{PO}{AB} \Leftrightarrow \frac{DO}{DB} = \frac{PO}{a}[/tex]
$$\Rightarrow PO = \frac{a.DO}{DB} $$

[tex]\triangle ABO \approx CDO \Rightarrow \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{a}{b}[/tex]

[tex]BO + OD = BD = \sqrt{ a^{2 } + c^{2 } }[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle \frac{BO}{OD} = \displaystyle \frac{a}{b} \\ BO + OD = \sqrt{ a^{2 } + c^{2 } } \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} BO= OD.\displaystyle \frac{a}{b} \\ OD + OD.\displaystyle \frac{a}{b} = \sqrt{ a^{2 } + c^{2 } } \end{array} \Rightarrow OD = \displaystyle \frac{b \sqrt{ a^{2 }+ c^{2 } } }{a + b}[/tex]

[tex]\Rightarrow PO = \displaystyle\frac{a.DO}{DB} = \displaystyle\frac{a. \displaystyle\frac{b \sqrt{ a^{2 }+ c^{2 } } }{a + b} }{ \sqrt{ a^{2 } + c^{2 } } }[/tex]
$$\Rightarrow PO = \frac{ab}{a + b} $$

2) Разстоянието от т.$O$ до $AB$

Построявам [tex]OM \bot AB , ON \bot AB , C B_{1 }||DB, C B_{1 } = BD[/tex]

[tex]BB_{1 }CD[/tex] е успоредник [tex]\Rightarrow B B_{1 } = CD = b[/tex]
$ANCD$ е правоъгълник [tex]\Rightarrow CN = AD = c[/tex]

[tex]\triangle ABO \approx \triangle A B_{1 }C \Rightarrow \frac{AB}{A B_{1 } } = \frac{OM}{CN} \Leftrightarrow \frac{a}{a + b} = \frac{OM}{c}[/tex]
$$\Rightarrow OM = \frac{ac}{a + b} $$