Четириъгълник, вписан в окръжност

[Гост]

Вписана в окръжност четириъгълник ABCD има диагона АС, който е перпендикулярен на BD и го разполовява. Намерете ъглите на четириъгълника, ако [tex]\angle[/tex]BAD=70°.

[ammornil]

Вписана в окръжност четириъгълник ABCD има диагона АС, който е перпендикулярен на BD и го разполовява. Намерете ъглите на четириъгълника, ако [tex]\angle[/tex]BAD=70°.

$\\[12pt]$

Screenshot 2025-06-10 235110.png (43.28 KiB) Прегледано 225 пъти

$\\[12pt]$За всеки вписан четириъгълник сборът от срещулежащите ъгли е равен на сто и осемдесет градуса, следователно $\because{} \measuredangle{BAD}= 70^{\circ} \Rightarrow \measuredangle{BCD}= 110^{\circ}$. Диагоналите разделят четириъгълника на четири триъгълника (два по два еднакви: правоъгълни с по два равни катета), което прави диагонала $AC$ ъглополовяща в четириъглника, откъдето можете да сметнете всички остри ъгли на правоъгълните триъгълници, а оттам и търсените ъгли на четириъгълника.$\\[24pt]$ $$ \measuredangle{BAD}=70^{\circ}, \quad \measuredangle{ABC}= \measuredangle{ADC}= 90^{\circ}, \quad \measuredangle{BCD}= 110^{\circ} $$

Скрит текст: покажи

Алтернативно, след като намерите, че $\measuredangle{BAC}= \measuredangle{DAC}= 35^{\circ}$ и $\measuredangle{BCA}= \measuredangle{DCA}= 55^{\circ}$, можете да кажете, че $\begin{cases} \triangle{ABC}: \quad \measuredangle{ABC} = 180^{\circ} -\measuredangle{BAC} -\measuredangle{BCA}= 90^{\circ} \\[6pt] \triangle{ADC}: \quad \measuredangle{ADC} = 180^{\circ} -\measuredangle{DAC} -\measuredangle{DCA}= 90^{\circ}\end{cases}\\[12pt]$

Screenshot 2025-06-10 233405.png (34.15 KiB) Прегледано 225 пъти

[ammornil]

Още едно решение без триъгълници.
Сборът от срещулежащите ъгли на вписан четириъгълник е $180^{\circ} \Rightarrow \measuredangle{BCD}= 180^{\circ} -\measuredangle{BAD}= 110^{\circ}$.
В окръжност, ако две хорди са вазимно перпендикулярни и едната разполовява другата, то хордата която разполовява е диаметър на окръжността. От това следва, че $AC$ се вижда под прав ъгъл от всяка точка по окръжността, от където $\measuredangle{ABC}= \measuredangle{ADC}= 90^{\circ}$. Това решение иска да е познато, че геометричното място от точки от които дадена отсечка се вижда под прав ъгъл е окръъжност с диаметър дадената отсечка.