Трапец

[ammornil]

Една лесна, но според мен интересна, задача.$\\[12pt]$

Даден е трапец с основи $10$см и $3$см. Единият диагонал на трапеца е перпендикулярен на основите му, а другият има дължина $15$см. Да се намерят дължините на частите на диагоналите, определени от пресечната им точка $F$.

$\\[12pt]$

Скрит текст: покажи

Същата задача, но задедана по много по-сложен начин (това условие не принадлежи на този раздел от форума, моля не публикувайте решения за него):$\\[12pt]$

Дадени са две окръжности с радиуси $10$см и $3$см. Централата на окръжностите е равна на $15$см. Общата вътрешна допирателна на окръжностите пресича централата в точка $F$. Да се намерят дължите на частите на които $F$ разделя централата и дължините на частите на които $F$ разделя вътрешната допирателна.

$\\[12pt]$

[S.B.]

Една лесна, но според мен интересна, задача.$\\[12pt]$

Даден е трапец с основи $10$см и $3$см. Единият диагонал на трапеца е перпендикулярен на основите му, а другият има дължина $15$см. Да се намерят дължините на частите на диагоналите, определени от пресечната им точка $F$.

$\\[12pt]$

Скрит текст: покажи

Същата задача, но задедана по много по-сложен начин (това условие не принадлежи на този раздел от форума, моля не публикувайте решения за него):$\\[12pt]$

Дадени са две окръжности с радиуси $10$см и $3$см. Централата на окръжностите е равна на $15$см. Общата вътрешна допирателна на окръжностите пресича централата в точка $F$. Да се намерят дължите на частите на които $F$ разделя централата и дължините на частите на които $F$ разделя вътрешната допирателна.

$\\[12pt]$

Без заглавие - 2026-08-05T092030.106.png (225.39 KiB) Прегледано 94 пъти

Четириъгълник ,две от страните на който са успоредни,,но другите две не са, се нарича трапец

В случая $AB || CD$ и ако допуснем,че $BC || AD$ тогава $ABCD$ ще бъде УСПОРЕДНИК, но тогава от свойствата на успоредника би трябвало $AB = CD$ ,което не е вярно, тъй като по условие $AB = 10 , CD = 3$

Подлагам диагонала $AC$ на транслация с вектор [tex]\vec{CD}[/tex] при която [tex]C \rightarrow D , A \rightarrow D_{1 }[/tex]
[tex]\triangle D_{1 }BD[/tex] е правоъгълен и за него прилагам Питагорова теорема и получавам [tex]D D_{1 } = 2 \sqrt{14}[/tex]
[tex]D D_{1 } = AC \Rightarrow AC = 2 \sqrt{14}[/tex]

[tex]\triangle ABF \approx \triangle DCF[/tex] (Първи признак)
[tex]\Rightarrow \frac{DC}{AB} = \frac{DF}{FB} = \frac{CF}{FA}[/tex]

Нека [tex]DF = x \Rightarrow BF = 15 - x[/tex]
[tex]\frac{DC}{AB} = \frac{DF}{FB} \Leftrightarrow \frac{3}{10} = \frac{x}{15-x} \Rightarrow x = \frac{45}{13} , 15 - x = \frac{150}{13}[/tex]

Аналогично [tex]\frac{DC}{AC} = \frac{CF}{FA } \Leftrightarrow \frac{3}{10} = \frac{CF}{2 \sqrt{14} - CF}[/tex]
Удоволствието да получите отговора оставям изцяло на Вас!

[Гост]

И какво ѝ е интересното на тази задача?!Че е лесна - лесна е,ама чак "интересна"....