Четириъгълник вписан в окръжност

[stefoto]

Една задачка и от мен.
В окръжност с радиус R е вписан четириъгълник, като AB=2R.
a) Да се докаже, че периметърът на четириъгълника е равен на 2R(1+cosα+ cosβ - cos(α+β), където α = <BAD и β= <ABC.
b) Ако α =β да се намери α така че периметърът да е най-голям.

[stefoto]

а подточка я реших но б не мога

[Xixibg]

a)[tex]AB=2R ; BC=2Rcos \beta ; CD=-2Rcos{(\alpha+\beta )} ; AD=2Rcos \alpha[/tex]
[tex]=>P=2R(cos \beta+cos \alpha -cos{(\alpha+\beta )})[/tex]
b)[tex]\alpha=\beta ; =>P=2R(2cos\alpha -cos 2\alpha)=2R(2cos\alpha-2cos^2\alpha +1)[/tex]
За да намерим най-големият периметър , търсим минималната стойност на [tex]f(\alpha )=2cos^2\alpha-2cos\alpha -1[/tex] , която е върхът на параболата.
[tex]=>cos\alpha =\frac{1}{2} ; \alpha <90^\circ ; =>\alpha =60^\circ[/tex]

[stefoto]

Забравил си една единица при формулата. И искам да те попитам защо търсим най-малката стойност на функцията и как така намери че се достига при 60 градуса ?
Благодаря ти !

[Xixibg]

Да наистина съм забравил една единица във формулата.
В такъв случай б) подточка малко се променя.
[tex]P=2R(1+cos\alpha +cos\beta -cos{(\alpha+\beta )})=2R(1+2cos\alpha +cos2\alpha)=2R(1+2cos\alpha -2cos^2\alpha +1) =-4R(cos^2\alpha -cos\alpha -1)[/tex]
Търсим минимална стойност на функцията [tex]f(cos \alpha )=cos^2\alpha -cos\alpha -1[/tex] , за да намерим максимума на периметъра.
[tex]f(cos\alpha)=min[/tex] при [tex]cos \alpha =\frac{1}{2} ; \alpha <90^\circ ; =>\alpha=60^\circ[/tex]

[tex]( f(x)=ax^2+bx+c[/tex] достига минимум при [tex]x=\frac{-b}{2a}[/tex] - върхът на параболата[tex])[/tex]

А не мога точно да ти разбера въпроса.Търсим минимум защото съм извадил минус пред скоби.Ако използвам полученият израз [tex]-cos^2\alpha+cos\alpha +1[/tex] без да вадя минус пред скоби ще търся максимум който отново ще е във върхът на параболата и ще се достига при [tex]cos \alpha =\frac{1}{2}[/tex]

[stefoto]

Разбрах те. Просто изтървах момента с минуса. Благодаря ти за отделеното време