Лице на триъгълник по координати на точки

[Гост]

Здравейте,
Попаднах и на тази формула за ориентираното лице на триъгълник АВС, където А(х1,у1), В(х2,у2) и С(х3, У3):
S = 0.5*((x1-x2 )*(y1+y2)+(x2-x3)*(y2+y3)+(x3-x1)*(y3+y1)).
Не мога да си я обясня, как се извежда, откъде следва? Може ли някой да ми помогне?

[Гост1]

По принцип може да се направи със знания за 10-ти клас.

Скрит текст: покажи

Първо, за по-лесно, местиш с две транслации триъгълника, така че А да отиде в (0,0). Сега смяташ по координатите АВ и АС. След това може директно да сметнеш [tex]\cos(\angle BAC)=\frac{\vec{AB}\vec{AC}}{|AC||BC|}[/tex] (скаларно произведение) и от там [tex]\sin(\angle BAC)[/tex]. И сега по формулата [tex]2S=ab\sin(\gamma )[/tex]. Ако не знаеш скаларно произведениe, просто може да си сметнеш ВС и косинусова теорема за ABC, за да намериш [tex]\cos(\angle BAC)[/tex], и така нататък. На практика така извеждаш скаларното произведение

[alexander_ivanov]

ще спомена, че може да се реши с материал за 6-7 клас. Може би е по-дълго, но е по-изчистено и се използват базовите знания за Декартова кординатна с-ма.
нужно е да се разгледат 9 случая (много са но са кратки и аналогични и можем да ги разгледаме в 2 семейства)
1) БОО приемаме че [tex]C[/tex] е най-високата точка и [tex]x_A \le x_B[/tex]
1.1)[tex]y_A \le y_B \ \ x_C\le x_A[/tex] пускаме перпендикуляри от точките към ордината разглеждаме знаците на лицата на трапците и сме ок
1.2)[tex]y_A \le y_B \ \ x_B \ge x_C\ge x_A[/tex] пускаме перпендикуляри от точките към ордината разглеждаме знаците на лицата на трапците и сме ок
1.3)[tex]y_A \le y_B \ \ x_C\ge x_B[/tex] пускаме перпендикуляри от точките към ордината разглеждаме знаците на лицата на трапците и сме ок
1.4)[tex]y_A \ge y_B \ \ x_C\le x_A[/tex] пускаме перпендикуляри от точките към ордината разглеждаме знаците на лицата на трапците и сме ок
1.5)[tex]y_A \ge y_B \ \ x_B \ge x_C\ge x_A[/tex] пускаме перпендикуляри от точките към ордината разглеждаме знаците на лицата на трапците и сме ок
1.6)[tex]y_A \ge y_B \ \ x_C\ge x_B[/tex] пускаме перпендикуляри от точките към ордината разглеждаме знаците на лицата на трапците и сме ок
2)БОО [tex]y_C=y_B>y_A \ \ x_C\le x_B[/tex]
2.1)[tex]x_A\le x_C[/tex] пускаме перпендикуляри от точките към ордината разглеждаме знаците на лицата на трапците и сме ок
2.2)[tex]x_B\ge x_A\ge x_C[/tex] пускаме перпендикуляри от точките към ордината разглеждаме знаците на лицата на трапците и сме ок
2.3)[tex]x_A\ge x_B[/tex] пускаме перпендикуляри от точките към ордината разглеждаме знаците на лицата на трапците и сме ок

[Гост1]

Хаха, Яко! Браво!

[alexander_ivanov]

благодаря