Задача от равностранен триъгълник

[Гост]

Равностранен триъгълник АВС е описан около окръжност k с радиус r. Височина BM пресича k в точка D ([tex]D \ne M[/tex]), а [tex]D_{1 }[/tex] е точката, симетрична на D относно правата AC. Допирателната t към k през [tex]D_{1 }[/tex] и върхът A лежат в една и съща полуравнина относно [tex]BD_{1 }[/tex]:
а) ако Е е допирната точка на k с t, намерете sin[tex]\angle BD_{1 }E[/tex] ;
б) ако L е пресечната точка на t със страната АВ, намерете ЕL.


Реших задачата и получих отговор на а) [tex]\frac{1}{ 3}[/tex] и на б) [tex]\frac{2r\sqrt{3}}{3 }[/tex], но понеже не знам дали са верни, бих искала някой да каже какво получава при решението. Благодаря

[Anubis]

Всичко е на рисунката.

[tex]D_{1}[/tex] е симетрична на [tex]D[/tex] спрямо правата [tex]AC[/tex], т. е. [tex]M[/tex] е среда на [tex]DD_{1}[/tex]. Нека [tex]\angle BD_{1}L = \varphi[/tex].

[tex]OE \bot D_{1}E \Rightarrow \sin\angle BD_{1}E = \sin \varphi = \frac{OE}{OD_{1}} = \frac{r}{3r} = \frac{1}{3}[/tex] ([tex]O[/tex] е центърът на окръжността)

Нека [tex]OK \bot AB[/tex]. Означаваме [tex]\angle BOL = \alpha, \quad \angle D_{1}OL = 180^\circ-\alpha[/tex].

[tex]EL = LK = x[/tex] (равни допирателни към окръжността)

[tex]D_{1}E^2 = D_{1}D.D_{1}M \Rightarrow D_{1}E=2r\sqrt{2}[/tex] (свойство на допирателна и секателна)

[tex]\triangle BOL: \quad \frac{OL}{\sin 30^\circ} = \frac{BL}{\sin \alpha} \Leftrightarrow \frac{OL}{\sin 30^\circ} = \frac{BK+x}{\sin \alpha}[/tex]

[tex]\triangle D_{1}OL: \quad \frac{OL}{\sin \varphi} = \frac{D_{1}L}{\sin \left ( 180^\circ-\alpha \right )} \Leftrightarrow \frac{OL}{\sin \varphi} = \frac{2r\sqrt{2}+x}{\sin \alpha}[/tex]

От тези две неща намираме [tex]EL = x[/tex].