Намиране на радиус на дъга

[Гост]

Здравейте, бих искал да попитам, има ли начин да се намери радиуса на една дъга, при условие, че знаем само дължината на секущата (май така се наричаше, означена на картинката с L) и разстоянието от нея до най-високата точка да дъгата, тоест на голямото разтояние между дъгата и секущата означено на картинката с А?

Graphic1.jpg (8.46 KiB) Прегледано 5610 пъти

[ammornil]

Съжалявам, че чертежът не е точно по тази задача, но нямам много време. Ето насоки как да се реши задачата (трябва да се дообоснове).

[tex]DF=l \hspace{12} BE=a \hspace{12} BE \bot DF[/tex]
Нека търсеният радиус е R.

[tex]DE=EF[/tex] хорда, пресечена от перпендикулярен диаметър се разполовява в точката на пресичане. Освен това дъгите на които точка В разделя дъгата DBF са равни, следователно съответните централни ъгли също са равни- [tex]\angle DAB= \angle FAB[/tex]

[tex]\angle DBA= \beta; \\
cotg \beta=\frac{BE}{DE}=\frac{2.a}{l}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}\frac{cos\beta }{sin\beta }=\frac{2.a}{l} \\ sin^2 \beta + cos^2 \beta =1 \end{array} \Rightarrow (1+\frac{4.a^2}{l^2}).sin^2 \beta=1 \hspace{6} \Rightarrow sin\beta=\sqrt{\frac{l^2}{l^2+4.a^2}}[/tex]
[tex]cos\beta=\frac{2.a}{l}.\sqrt{\frac{l^2}{l^2+4.a^2}}=\sqrt{\frac{4.a^2}{l^2+4.a^2}}[/tex]

[tex]\angle DAB= 180-2.\beta \Rightarrow sin\angle DAB= sin(180-2.\beta)=sin(2.\beta) \\
sin\angle DAB=2.sin\beta.cos\beta=\frac{4.a.l}{l^2+4.a^2}[/tex]

в триъгълник DBE ->[tex]DB=\frac{DE}{sin\beta}=\frac{l}{2.sin\beta}[/tex]

от Синусова теорема в триъгълник DAB:
[tex]\frac{DB}{sin\angle DAB}=\frac{AD}{sin\angle DBA} \\
\frac{\frac{l}{2.sin\beta}}{sin\angle DAB}=\frac{R}{sin\beta} \\
\frac{l}{2.sin\beta .sin\angle DAB}=\frac{R}{sin\beta} \hspace{12} \Rightarrow R=\frac{l}{2.sin\angle DAB} \\
R=\frac{1}{2}.l.\frac{l^2+4.a^2}{4.a.l}=\frac{l^2+4.a^2}{8.a}[/tex]

---
Прегледайте сметките, може да съм ги сбъркал, но начина е това.

[Гост]

Много благодаря за отговора, точно се получи, благодаря също и за принципа по които се получава крайната формула. Това е единствения форум в нашето интернет пространство където човек може да получи отлична помощ. Още веднъж благодаря!

[Гост]

Написаното е ОК, но има една стара формула S=a*b*c/4R, та може и тя да се ползва, не знаем само R....

[ammornil]

Да, не се сетих за това. Може да се намери дължината на отсечката, свързваща край на хордата с точката в средата на дъгата и да се приложи тази формула за лице.
Не мисля, че тази формула е много по-стара от другите формули за лице на триъгълник !
Идеята е чудесна.

[Xixibg]

Ето това е малко по-просто:
Ще използвам чертежа в предишният пост.Нека [tex]\angle DBE=\alpha ; =>tg \alpha =\frac{l}{2a}[/tex]

[tex]=> \frac{sin \alpha }{cos\alpha }=\frac{l}{2a} ; =>sin \alpha =\frac{l}{2a}cos\alpha[/tex]

[tex]=>sin {2\alpha }=2sin \alpha cos \alpha =\frac{l}{a}cos^2\alpha[/tex]

[tex]DB^2=a^2+\frac{1}{4}l^2[/tex] (Питагорова теорема)

[tex]cos^2\alpha=\frac{BE^2}{DB^2}=\frac{4a^2}{(4a^2+l^2)} ; =>sin {2\alpha }=\frac{4a.l}{4a^2+l^2}[/tex]

[tex]=>R=\frac{DF}{2sin {2\alpha }}=\frac{\cancel{l}(4a^2+l^2)}{2.4.a.\cancel{l}}=\frac{(4a^2+l^2)}{8a}[/tex](Синусова теорема)