Геометрична Задача

[Гост]

В правоъгълен триъгълник (<C=90 градуса), CH е височината към хипотенузата. Ако CH=9,6 cm, а катетите се отнасят както 3:4, намерете хипотенузата.

[ammornil]

1начин: с тригонометрични функции
[tex]\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}=cotg \angle BAC \\
\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}= cotg \angle ABC \\
cotg \angle ABC= \frac{HB}{CH} \Rightarrow HB=CH.cotg \angle ABC \\
cotg \angle BAC= \frac{AH}{CH} \Rightarrow HA=CH.cotg \angle BAC \\
\vspace{5} \\
AB=HA+HB=CH.(cotg \angle BAC+ cotg \angle ABC) \\
AB=9,6.(\frac{3}{4}+\frac{4}{3})=\frac{96}{10}.\frac{25}{12}=20 \hspace{4} cm[/tex]

2начин: метрични зависимости в правоъгълен триъгълник:
[tex]AC=3n, BC=4n \\
\vspace{5} \\
\triangle AHC \sim \triangle BHC \Rightarrow \frac{AH}{HC}=\frac{HC}{HB} \Rightarrow AH.HB=HC^2 \vspace{5} \\
\frac{AH}{HB}=\frac{AC^2}{BC^2} \Rightarrow \frac{AH}{HB}=\frac{9}{16}\Rightarrow AH=\frac{9}{16}.BH\\
\frac{9}{16}.BH^2=CH^2 \Rightarrow BH=\frac{4}{3}.CH \\
AH=\frac{9}{16}.BH=\frac{9}{16}.\frac{4}{3}.CH=\frac{3}{4}.CH \\
\vspace{5} \\
AB=AH+BH=\frac{3}{4}.CH+\frac{4}{3}.CH=\frac{25}{12}.9,6=20 \hspace{4} cm[/tex]

[Xixibg]

Ето един начин и от мен.
Нека [tex]a=3x ; b=4x[/tex].От Питагорова теорема следва [tex]c=5x[/tex]
[tex]S=\frac{a.b}{2}=\frac{c.h_c}{2} ; =>3x.4x=5x.9,6 ; =>x=\frac{48}{12}=4[/tex]
[tex]=>c=20[/tex]