Задача от изпит 1996г.

[plamen1994]

Даден е остроъгълен триъгълник, вписан в окръжност с радиус R, за който BC=a, CA=b, AB=c са страни, а [tex]AA_{1 }[/tex]=ha, [tex]BB_{1 }[/tex]=hb, [tex]CC_{1 }[/tex]=hc са височини. Ако [tex]p_{a }[/tex], [tex]p_{b }[/tex], [tex]p_{c }[/tex] са разстоянията от върховете A,B и C на триъгълника съответно до [tex]B_{1 }[/tex][tex]C_{1 }[/tex], [tex]C_{1 }[/tex][tex]A_{1 }[/tex], [tex]A_{1 }[/tex][tex]B_{1 }[/tex] да се докаже, че [tex]\frac{p_{a }}{ a^{2}}[/tex]+[tex]\frac{p_{b }}{ b^{2}}[/tex]+[tex]\frac{p_{c }}{ c^{2}}[/tex][tex]\ge[/tex][tex]\frac{3}{ 4R}[/tex]. Кога се достига равенство?
Виждам, че равенство се достига когато триъгълникът е равностранен (поправете ме, ако греша), но не мога да докажа неравенството..

[ganka simeonova]

Ето го и моето решение, но ще мина без чертеж. Ще ползвам следните неща.
[tex]\Delta AB_1C_1\approx \Delta ABC; k=cos\alpha[/tex]Аналогично останалите два малки триъгълника са подобни на големия с коефициент на подобие косинуса на общия им ъгъл (ОЗ от 9 клас)
[tex]p_a; p_b; p_c[/tex] са височини в малките триъгълници=>
[tex]p_a=h_a cos\alpha ; p_b=h_b cos\beta ; p_c=h_c cos\gamma[/tex] ; [tex]h_a=\frac{2S}{ a} ; h_b=\frac{2S}{b } ; h_c=\frac{2S}{c } =>[/tex]

[tex]\frac{p_a}{a^2 } +\frac{p_b}{b^2 } +\frac{p_c}{c^2 } =2S(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bca^3 } +\frac{b^2+a^2-c^2}{2abc^3 } +\frac{a^2+c^2-b^2}{2acb^3 })[/tex]Привеждаме под ОЗ и заменяме [tex]S=\frac{abc}{4R }[/tex]. Получаваме

[tex]\frac{p_a}{a^2 } +\frac{p_b}{b^2 } +\frac{p_c}{c^2 }= \frac{(a^4c^2+a^2c^4+b^4c^2+b^2c^4+a^2b^4+a^4b^2)-3a^2b^2c^2}{4Ra^2b^2c^2 }[/tex]

За шестте събираеми в скобата прилагаме СА-СГ=>

[tex]\frac{p_a}{a^2 } +\frac{p_b}{b^2 } +\frac{p_c}{c^2 }\ge \frac{6\sqrt[6]{a^{12}b^{12}c^{12}} -3a^2b^2c^2}{4Ra^2b^2c^2 } =\frac{3}{4R }[/tex]- равенство се достига за [tex]a=b=c[/tex]

[plamen1994]

Големи благодарности за пореден път!!

[ganka simeonova]

Големи благодарности за пореден път!!

За нищо:) На мен задачата ми хареса. Благодарности и за теб, че я пусна.

[Mr.G{}{}Fy]

[tex]p_a=h_a.cos\alpha=\frac{bccos\alpha}{2R }=\frac{2bccos\alpha}{4R }=\frac{c^2+b^2-a^2}{ 4R}[/tex]
тогава [tex]\frac{p_a}{a^2 }= \frac{c^2+b^2-a^2}{ 4Ra^2}[/tex] Аналогично и за другите и след като ги разпишеш и умножиш 2-те страни на неравенството с

[tex]4R[/tex] остава [tex]\frac{c^2+b^2-a^2}{a^2 }=\frac{c^2}{a^2 }+\frac{b^2}{a^2 } -1[/tex] Това е за първото събираемо .Разпиши така и другите 2,ако имаш проблеми нататък пиши.
П.П. В началото използвах,че [tex]h_a=\frac{bc}{2R }[/tex]
П.П.2 Всъщност,ако Госпожа Симеонова е изкарала общ множител [tex]\frac{1}{ 2abc}[/tex] на втория си ред и после го е преобразувала това в скобите,подобно на това,което съм направил аз,ще се получи същото нещо.