Задачи триъгълник, трапец.

[Гост]

1. Даден е триъгълник ABC с <BAC=120° и радиуси на вписаната и описаната окръжност съответно r=√3 и R= 14√3 върху 3 . Намерете страните на триъгълника.
Единственото което ми хрумна е да намеря BC със синусовата теорема и до там.

2. Диагоналите на трапец ABCD са равни на 3 см и 5 см, а отсечката, съединяваща средите на основите му, е равна на 2 см. Намерете лицето на трапеца.

Урока се казва Лица на равнинни фигури ако е от полза.

[Xixibg]

1.[tex]S_{ABC}=\frac{a.b.c}{4R}=\frac{b.c.sin \alpha}{2}[/tex]

[tex]\frac{a.b.c}{4\frac{14\sqrt{3}}{3}}=\frac{b.c.\sqrt{3}}{4}; =>a=14[/tex]

[tex]S_{ABC}=\frac{b.c.sin \alpha}{2}=p.r[/tex]

[tex]\frac{b.c.\sqrt{3}}{4}=\frac{(14+b+c)\sqrt{3}}{2}; =>b.c=28+2(b+c)[/tex]

[tex]a^2=b^2+c^2-2b.c.cos \alpha ; =>b^2+c^2+b.c=196 ; =>(b+c)^2=196+b.c[/tex]

Нека [tex]b+c=u \ge 0; b.c=v\ge 0[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}u^2=196+v\\v=28+2u \end{tabular}[/tex]

[tex]=>u^2-2u-224=0 ; =>u_1=16 ; u_2=-14\notin DM[/tex]

[tex]=>v=60[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}b+c=16\\b.c=60 \end{tabular} =>b_1=10 ;c_1=6 ; b_2=6 ; c_2=10[/tex]


2.Задача е еквивалентна със задачата:"Даден е триъгълник ,за който [tex]a=5 ; b=3 ; m_c=2[/tex].Да се намери лицето му.
[tex]m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2} ; =>c=\sqrt{2a^2+2b^2-4m_c^2}=\sqrt{50+18-16}=2\sqrt{13}[/tex]

[tex]p=\frac{a+b+c}{2}=4+\sqrt{13}[/tex]

[tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{(4+\sqrt{13})(1+\sqrt{13})(\sqrt{13}-1)(4-\sqrt{13})}=\sqrt{(16-13)(13-1)}=\sqrt{36}=6[/tex]

Цялото това удоволствие се нарича Херонова формула

[ganka simeonova]

Xixi, за да се избегне тази неприятна система в 1 задача е хубаво да се работи с допирателни отсечки. Ако от центъра I на вписаната окр. построим перпендикуляри към АВ и АС, които са [tex]IP, IQ=>AP=\frac{a+b-c}{2 } ; AP=\sqrt{3} .cotq60^\circ[/tex]