Задача за тъпоъгълен триъгълник.

[iDeuce]

Наскоро решавах някаква пробна матура и се натъкнах на тази задача и неможах да я реша,надявам се някой ще ми помогне :

В тръгълник АВС ъгъл [tex]\angle[/tex] АСВ е 120[tex]^\circ[/tex] ,D е елемент на АВ ,така че АD=1 , BD=6 , CD=2. Да се намерят страните на триъгълника.

[ева]

Един от отг.,който получавам е-а=2[tex]\sqrt{7}[/tex] , b=[tex]\sqrt{7}[/tex].
Ще проверя и втория възможен отг.

Скрит текст: покажи

Съставих с-ма с 3 уравнения и 3 неизвестни.

[Davids]

Не успях за ограниченото си време да измъдря нещо по-вещо и изпипано, но ще споделя 'хамалското' си решение
Първо ще означим $\angle BDC = \alpha$ и ще изразим лицата чрез синуса му.
$S_{ABC} = \frac{absin120}{2} = S_{ACD} + S_{BCD} = \frac{2.1.sin\alpha}{2} + \frac{2.6.sin\alpha}{2}$
Откъдето непосредствено $ab = \frac{28\sqrt{3}sin\alpha}{3}$

В следващия момента обаче имаме по косинусова теорема за $\Delta ABC$:
$7^2 = a^2 + b^2 - 2abcos120$
Заместваме произведението от горе и получаваме:
$\Rightarrow a^2 + b^2 = 49 - \frac{28\sqrt{3}sin\alpha}{3}$

Паралелно на това обаче от две косинусови теореми за по-малките триъгълници извличаме:
[tex]\begin{array}{|l} a^2 = 4 + 36 - 2.2.6cos\alpha \\ b^2 = 4 + 1 + 2.2.1.cos\alpha \end{array}[/tex]
Сумираме двата израза и достигаме до
$a^2 + b^2 = 45 - 20cos\alpha$

Приравняваме двата сбора на квадратите на страните и получаваме:
$49 - \frac{28\sqrt{3}sin\alpha}{3} = 45 - 20cos\alpha$
Опростяваме до неузнаваемост и достигаме до едно интересно тригонометрично уравнение:

$15cos\alpha - 7\sqrt{3}sin\alpha + 3 = 0$
Сега, малко ме е срам от творческата ми безидейност как да го решим елегантно, та затова ще става по трудоемкия начин
Ще се възползваме от факта, че $\alpha \in (0; \pi)$, т.е. синусът му е положителен. Преобразуваме така:
$7\sqrt{3}sin\alpha = 15cos\alpha + 3$
Оттам ще изведем и ДС за косинуса: $15cos\alpha + 3 > 0 \Rightarrow cos\alpha > -\frac{1}{5}$

Сега ще повдигаме на квадрат (и после ще проверяваме за отговорите по ДС... тъй като гаранция няма ) и ще решаваме за $cos\alpha$. Ще си спестя писанката, решения са:
$cos\alpha = \frac{1}{2}$ и $cos\alpha = -\frac{23}{31}$, от които само първото е валидно и следователно единственото решение.
Лесно намираме $sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и задачата вече се свежда до сметки:
$\begin{array}{|l} ab = \frac{28sin\alpha}{\sqrt{3}} = ... = 14 \\ a^2 + b^2 = 45 - 20cos\alpha = ... = 35 \end{array}$

Скрит текст: покажи

Като се замисля, алтернативно май ще е и по-лесно да си ги намерим директно от изразените по-горе косинусови теореми, като предимство на този начин е, че не получаваме система симетрични уравнения и няма нужда да доказваме допълнително коя стойност на коя страна принадлежи точно (т.е. съображението, че $a > b$):
$\begin{array}{|l} a^2 = 4 + 36 - 2.2.6cos\alpha = 28 \\ b^2 = 4 + 1 + 2.2.1.cos\alpha = 7 \end{array}$

Откъдето лесно вече получаваме $a = 2\sqrt{7}$ и $b = \sqrt{7}$

[ева]

Както си се досетил,съставих с-та:
[tex]\begin{array}{|l} b^{2}=1+4-2.2.1cos\alpha \\a^{2}=4+36-2.2.6cos(180^\circ-\alpha)\\7^{2} =a^{2}+b^{2}-2ab.cos120^\circ\end{array}[/tex]

Скрит текст: покажи

Moжe да има и друго р-е.