Една задачка 6 клас международно състезние

[radarford]

Здравейте , задачата е следната: Дадена е права отсечка АВ \bot BC . В полуравнината заградена от АВ и BC е избрана точка D , така че \Delta BCD е правоъгълен. Ако AB=BC , BD=3 и CD=5 да се намери лицето на ABD.
До тук ОК. Задачата се решава с подобни триъгълници. Отговор е 9/2. И се оказва, че това CD=5 не се ползва!!!.
Друг парадокс се получи , когато почнах за я решавам - вместо CD=5 , приех BC =5 . От там се получи за правоъгълният триъгълник, че е със страни 3, 4,5. Височина към хипотенузата 12/5. В последствие получих, че лицето на ABD =9/2 .

T.e при различни данни се получава все едно и също ))

А дали в 6 клас се учат подобни триъгълници ????

[monika_at]

Оправи изречението.
"права отсечка"? Какво значи това?
В 6 клас не се учат подобни триъгълници, чак в 9 клас.
Оправи условието.

[radarford]

Отсечка

[monika_at]

Здравейте , задачата е следната: Дадена е права отсечка АВ \bot BC . В полуравнината заградена от АВ и BC е избрана точка D , така че \Delta BCD е правоъгълен. Ако AB=BC , BD=3 и CD=5 да се намери лицето на ABD.
До тук ОК. Задачата се решава с подобни триъгълници. Отговор е 9/2. И се оказва, че това CD=5 не се ползва!!!.
Друг парадокс се получи , когато почнах за я решавам - вместо CD=5 , приех BC =5 . От там се получи за правоъгълният триъгълник, че е със страни 3, 4,5. Височина към хипотенузата 12/5. В последствие получих, че лицето на ABD =9/2 .

T.e при различни данни се получава все едно и също ))

А дали в 6 клас се учат подобни триъгълници ????

[inveidar]

Сигурно имаш предвид, че В е между А и С. Що не вземеш да ни пуснеш оригиналното условие, да си го преведем?

[radarford]

Здравей Invader - условието е следното - AB е перпендикулярнa на BC. Не ми се чертае , ще ти го обясня за да се ориентираш. Представи си координатната система. Все едно B e на мястото на 0 -лата , а А е по абцисата на ляво от нулата , а C е по ординатата нагоре от нулата. Така т.D се пада във 2 ри квадрант. BD =3 и DC=5 и триъгълника BDC e правоъгълен - ъгъл при върха D e прав. Търси се лицето на ABD .

Това DC=5 ако се решава с подобни - няма смисъл от него.
и другото ако приемеш ( както аз в бързината приех не DC=5) , a BC=5 - отговорът е пак същият 9/2 !

Good Luck

[monika_at]

Здравей Invader - условието е следното - AB е перпендикулярнa на BC. Не ми се чертае , ще ти го обясня за да се ориентираш. Представи си координатната система. Все едно B e на мястото на 0 -лата , а А е по абцисата на ляво от нулата , а C е по ординатата нагоре от нулата. Така т.D се пада във 2 ри квадрант. BD =3 и DC=5 и триъгълника BDC e правоъгълен - ъгъл при върха D e прав. Търси се лицето на ABD .

Това DC=5 ако се решава с подобни - няма смисъл от него.
и другото ако приемеш ( както аз в бързината приех не DC=5) , a BC=5 - отговорът е пак същият 9/2 !

Good Luck

С риск да заформя поредния скандал, но това обяснение плаче за раздел "БИСЕРИ".
Моля те, копни оригиналния текст на условието.

[inveidar]

Даден е равнобедрен правоъгълен триъгълник с прав ъгъл при върха В. D е вътрешна точка за АВС и BD=3, CD=5. Пресметнете лицето на ABD.

Мисля, че това условие отговаря на обясненията. Не виждам, обаче, как би могла да се реши задачата с материал за 6 клас. С подобни става. DC не е излишно.

[math10.com]

zadacha.png (18.62 KiB) Прегледано 1558 пъти

С еднакви триъгълници става ,ама с материал за 6 клас не мога да го измисля.
[tex]\angle DBC=\beta , \angle DBA=90^\circ -\beta ,\angle DCB=180^\circ -(90^\circ +\angle DBC)=90^\circ -\beta[/tex]
Построяваме [tex]CE=BD=3 , E\in CD[/tex]
Следователно [tex]\triangle ABD,\triangle BCE[/tex] са еднакви по 1-ви признак
Следователно [tex]S_{ABD}=S_{BCE}=\frac{BD.CE}{2}=\frac{3.3}{2}=\frac{9}{2}[/tex]

[inveidar]

От горното чудесно решение наистина следва, че CD=5 е излишно.

[Евва]

Ето една идея от мен :
Да построим височините DH и DM съответно в [tex]\triangle[/tex]ABD и в [tex]\triangle[/tex]DBC .
Нека DM=x ,DH=y и AB=BC=a .

Дадено е ,че [tex]\angle[/tex]BDC=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]BD^{2 } + CD^{2 }= BC^{2 }[/tex]
9+25=[tex]a^{2 }[/tex] ; [tex]a^{2 }[/tex]= 34 (1)

[tex]\triangle[/tex]HBD -правоъгълен [tex]HB^{2 } + HD^{2 }= BD^{2 }[/tex] ; [tex]x^{2 } + y^{2 }[/tex]=9 (2)

[tex]\triangle[/tex]DMC- правоъълен [tex]DM^{2 } + CM^{2 } =CD^{2 }[/tex] ; [tex]x^{2 } +(a-y)^{2 }[/tex]=25
[tex]x^{2 }+ a^{2 } -2ay+ y^{2 }[/tex]= 25
[tex](x^{2 }+ y^{2 }) + a^{2 }[/tex] -2ay =25 ползваме (1) и (2)
9+34-2ау =25 [tex]\Rightarrow[/tex] ау=[tex]\frac{18}{2}[/tex]=9

Тогава [tex]S_{ABD }[/tex] =[tex]\frac{AB.DH}{2}[/tex] =[tex]\frac{ay}{2}[/tex]= [tex]\frac{9}{2}[/tex]= 4,5

[pal702004]

Pic6.jpg (10.5 KiB) Прегледано 1316 пъти

Здравейте , задачата е следната: Дадена е права отсечка $АВ \bot BC$ . В полуравнината заградена от $АВ$ и $BC$ е избрана точка D , така че $\Delta BCD$ е правоъгълен. Ако $AB=BC$ , $BD=3$ и $CD=5$ да се намери лицето на ABD.
До тук ОК. Задачата се решава с подобни триъгълници. Отговор е 9/2. И се оказва, че това CD=5 не се ползва!!!.
Друг парадокс се получи , когато почнах за я решавам - вместо CD=5 , приех BC =5 . От там се получи за правоъгълният триъгълник, че е със страни 3, 4,5. Височина към хипотенузата 12/5. В последствие получих, че лицето на ABD =9/2 .

T.e при различни данни се получава все едно и също ))

А дали в 6 клас се учат подобни триъгълници ????

Да, така е. Лицето на [tex]\triangle ABD[/tex] зависи само от дължината на $BD$ и от това, че $AB=BC$

$\dfrac{DD_1}{BD}=\dfrac{BD}{BC}$

$S=\dfrac{BD^2}{2}$

[pal702004]

Условието $CD=5$ наистина е излишно...донякъде. Вероятно е сложено, за да се изключи възможността $\angle BCD$ да е прав.

Условието $\triangle BCD$ е правоъгълен още не дава отговор на въпроса кой точно ъгъл е прав.

ПС. чак сега забелязах, че решавам задача от 2013 г. Евва ме подведе

[Евва]

В изпратеното пояснение на 18 май в 20:37 ч. от radarford става ясно ,че BDC=90[tex]^\circ[/tex]

Потвърждение -след като т. D е вътрешна за правоъгълния [tex]\triangle[/tex]АВС , то няма как [tex]\angle[/tex]DBC=90[tex]^\circ[/tex] ,или [tex]\angle[/tex]BCD=90[tex]^\circ[/tex] .

Остава въпроса дали се учи Питагорова теорема в 6 клас .

[pal702004]

В обяснението radarford обяснява как той/тя разбира условието. Аз чета условието такова, каквото е дадено в задачата. Там няма условие, че D е вътрешна за ABC, а само че е в четвъртравнината, определена от $BA,BC$