Триъгълник - лице и ъглополовяща

[gab4eto_pz11]

Задача: Да се намери лицето на триъгълника ABC и ъглополовящата на ъгъл ACB, ако AB=28 см, BC=25 см и AC=17 см.

[math10.com]

[tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{35.7.10.18}=210[/tex] -Херонова формула

[tex]l_c=\sqrt{ab-\frac{abc^2}{(a+b)^2}}=\sqrt{25.17-\frac{25.17.28^2}{(25+17)^2}}=\sqrt{425-\frac{1700}{9}}=\frac{5\sqrt{85}}{3}[/tex]

[gab4eto_pz11]

благодаря, а за ъглополовящата може ли да се намери по друг начин чрез отношения на отсечки

[mail_dinko]

Предлагам ти алтернативен метод. Но този на първия автор е по-добър и много по-бърз. От косинусова теорема намираме косинуса на ъгъла, при който е ъглополовящата. Означаваме го с алфа. После от основното тригонометрично тъждество намираме синуса на този ъгъл.
[tex]c^2=a^2+b^2-2abcos \alpha[/tex]
[tex]cos \alpha = \frac {a^2+b^2-c^2}{2ab}= \frac {625+289-784}{850}={130}{850}--->\fbox {cos\alpha = \frac{13}{85}}[/tex]
[tex]sin^2 \alpha +cos ^2 \alpha=1--->sin \alpha =\sqrt {1-cos^2 \alpha}--->\fbox {sin \alpha = \frac {84}{85}}[/tex]
Сега ще намерим синусът на половинка ъгъл. Първи начин чрез следната формула:
[tex]sin {\frac {\alpha}{2}}=\sqrt {\frac {1- {cos{ \alpha}}}{2}}---> \fbox {sin {\frac {\alpha}{2}}= \frac {6 \sqrt {85}}{85}}[/tex]
Друг начин за синус на половинката ъгъл, който не препоръчвам, защото се получава биквадратно уравнение и става много тежко за смятане, освен това ще имаш две стойности, които са положителни и две отрицателни:
[tex]\begin{tabular}{|l}sin \alpha = 2 sin {\frac {\alpha}{2}} cos {\frac {\alpha}{2}}---> cos {\frac {\alpha}{2}} =\frac {sin \alpha}{2sin {\frac {\alpha}{2}}}\\sin^2 {\frac {\alpha}{2}}+cos^2 {\frac {\alpha}{2}}=1 \end{tabular}[/tex]
Синусът на ъгъл алфа може да се намери още след намиране на лице по Херон.
[tex]4RS=abc--->R=\frac {abc}{4S}[/tex]
[tex]\frac {a}{{sin \alpha}}=2R---> sin \alpha = \frac {a}{2R}=\frac {2aS}{abc}[/tex]
Вземам наготово лицето 210 от първия коментар, няма смисъл да го смятам пак. Изразяваме го като сума от лицата на двата триъгълника
[tex]S \Delta ABC=S \Delta ALC + S \Delta BLC[/tex]
[tex]S \Delta ABC= \frac12 bl sin {\frac {\alpha}{2}}+\frac12 al sin {\frac {\alpha}{2}}[/tex]
[tex]S \Delta ABC= \frac12 l sin {\frac {\alpha}{2}} (a+b)---> l= \frac {2S}{(a+b) sin { \frac {\alpha}{2}}}-->\fbox {l= \frac {5 \sqrt {85}}{3}}[/tex]
Иначе относно съотношението за което питаш: означаваме AL=x, BL=28-x. Тогава
[tex]\frac {28-x}{x}= \frac {25}{17}[/tex]
[tex]x=\frac {34}{3}[/tex]
Вземаш един от двата триъгълника, като ползваш косинусовата теорема, ще намериш колко е третата страна, т.е. ъглополвящата. Косинуса ще намериш от някоя от многото формули