Ромб, височина, ъгъл

[mdelyakova]

В ромб с височина h и остър ъгъл [tex]\alpha[/tex] е вписана окръжност. Да се намери радиусът на по-голямата от двете окръжности, всяка от които се допира до дадената окръжност и до двете страни на ромба.

[inveidar]

hhhe.png (33.25 KiB) Прегледано 1192 пъти

От подобието [tex]\Delta O_1TO\sim \Delta AHO_1[/tex] получаваме [tex]\frac{r-r_1}{r_1 }=\frac{r+r_1}{ \frac{r_1}{sin (\frac{\alpha }{ 2 } ) } }\Leftrightarrow r-r_1=(r+r_1)sin (\frac{\alpha }{ 2})[/tex]. От последното лесно намираме [tex]r_1=r.\frac{1-sin(\frac{\alpha }{2 }) }{1+sin(\frac{\alpha }{ 2}) }[/tex]. Аналогично за другата окръжност получаваме [tex]r_2=r.\frac{1-cos(\frac{\alpha }{2 }) }{1+cos(\frac{\alpha }{ 2}) }[/tex]. Доказателството на факта, че [tex]r_1>r_2[/tex] оставям на вас. Просто съкращавате на [tex]r[/tex], освобождавате се от знаменателите(те са положителни) и стигате до [tex]cos (\frac{\alpha }{2 })>sin(\frac{\alpha }{ 2})[/tex], което е очевидно вярно при [tex]\frac{\alpha }{2 }\in (0^0;45^0)[/tex]. Остава да съобразите, че [tex]\frac{2r}{ a}=sin\alpha[/tex] и да заместите [tex]r=\frac{a.sin \alpha }{ 2}[/tex] в полученото преди малко [tex]r_1=r.\frac{1-sin(\frac{\alpha }{2 }) }{1+sin(\frac{\alpha }{ 2}) }[/tex].