Задачи от подобни триъгълници

[NadetoDG]

Здравейте, за първи път влизам тук и не знам дали е точното място но...

1 зад. През средата на малката страна ВС на успоредник ABСD е построена права, която пресича продължението на страната АВ в т.Е а продължението на AD -т.Р. Да се намерят страните на успоредника, ако отношението им е 2 и ВЕ=2см, а DP=6см.

2 зад. На страните АВ и АС на триъгълник АВС са взети точките D и Е така, чеAD=k.AC и АЕ=k.АВ, k(0;1). Да се докаже, че точките B,C,D и Е лежат на една окръжност.

Благодаря Ви!

[Anubis]

На картинката съм отбелязал равните ъгли.

Означаваме малката страна на успоредника с [tex]b[/tex]. Тогава голямата ще бъде [tex]2b[/tex].

[tex]\triangle BEM \simeq \triangle CKM \Rightarrow BE = CK = 2, \quad DK = 2b-2[/tex].

[tex]\triangle BEM \sim \triangle DKP \Rightarrow \frac{BE}{DK} = \frac{EM}{KP} = \frac{BM}{DP} \Rightarrow \frac{2}{2(b-1)} = \frac{b}{12} \Rightarrow b^2 - b - 12 = 0 \Rightarrow b = 4, \quad a = 8[/tex]

[NadetoDG]

Благодаря ти много за тази задача

[Anubis]

Понеже [tex]\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = k[/tex], можем да запишем [tex]AD=kx, \quad AC = x[/tex] и [tex]AE=ky, \quad AB = y[/tex].

Разглеждаме следните триъгълници: [tex]\triangle ADE[/tex] и [tex]\triangle ACB[/tex]. За тях

[tex]\frac{AD}{AC} = \frac{kx}{x} = k, \quad \frac{AE}{AB} = \frac{ky}{y} = k[/tex] и [tex]\angle A[/tex] е общ. По втори признак [tex]\triangle ADE \sim \triangle ACB[/tex].

На подобните триъгълници всичките им ъгли са равни, т е. [tex]\angle AED = \beta \Rightarrow \angle DEC = 180^\circ - \beta[/tex].

По същия начин [tex]\angle BDE = 180^\circ - \gamma[/tex]. Оттук около [tex]BCED[/tex] може да се опише окръжност.