Средна отсечка в трапец

[sweetmony]

1) Средната основа на MN на трапеца ABCD пресича диагоналите му в точките E и L. Ако DC=4 и EL=3, намерете дължината на MN и AB.

2) В равнобедрен трапец ABCD е построена височината DH. Ако AH=3 и средната основа на трапеца е 15, да се намери дължината AB и CD.

3) Медианите AA1, BB1 и CC1 на триъгълник ABC се пресичат в точка М. AA1+BB1+CC1= 36см и MA1 : MB1 : MC1 = 5 : 4 : 3 . Да се намери MA, MB, MC.

[Knowledge Greedy]

В задача 1) ползваме известния факт, че [tex]EL=\frac{a-b}{2 }[/tex]. Тогава веднага [tex]a=AB=10[/tex] и ...
В задача 2) спускаме още една височина [tex]CK[/tex], явно [tex]KB=AH=3[/tex]. От друга страна малката основа е [tex]HK=DC[/tex] и разликата на двете основи е [tex]KB+AH= 6[/tex].т.е. [tex]\frac{a-b}{2 }=6.[/tex] Полусборът им е [tex]\frac{a+b}{2 }=15[/tex] - средната основа. Задачата става лесна!
В задача 3) всичко е въпрос на кратки означения: ако [tex]MA_{1}=5x, MB_{1}=4x,MC_{1}=3x,[/tex] то останалите части от медианите ще са удвоените на тези отсечки (Медицентърът дели всяка медиана в отношение 2:1, считано от върха на триъгълника, през който е построена медианата.) Значи общо [tex]36x=36 cm[/tex] и т.н.