Задача, дадена след раздел "Вектори" и "Средна отс. в трапец

[math77]

Върху основата АВ на трапеца ABCD съществува точка Е такава, че периметрите на триъгълниците AED, DEC и BEC са равни. Да се докаже, че AB = 2CD.

Аз стигнах до:

AB+AD+BC+DE+CE = 2P
DC+DE+CE = P
AB+AD+BC = 2DC+DE+CE

и зациклих , разбирам, че трябва да докажа, че AD+BC=DE+CE, но ???????????????

[Knowledge Greedy]

Приятелю, просто не си използвал едно от условията - става дума за трапец.

30 декември 7 клас.PNG (4.44 KiB) Прегледано 275 пъти

Да допуснем, че точката [tex]E[/tex] е на такова място, че [tex]AE>DC[/tex]. Да построим нова точка - [tex]A_{1}\in AE[/tex] и [tex]A_{1}E=DC.[/tex] Тогава триъгълниците [tex]\Delta A_{1}ED[/tex] и [tex]\Delta CDE[/tex] са еднакви по първи признак (?). А еднаквите триъгълници имат равни периметри, нали? Как е възможно тогава и периметърът на [tex]\Delta AED[/tex] да е равен на периметъра на [tex]\Delta A_{1}ED[/tex]?! Та нали [tex]AA_{1}+A_{1}D>AD[/tex] - неравенство на триъгълника! Значи допускането ни, че [tex]AE>DC[/tex] не е вярно. Ще получим противоречие и в случая, ако допуснем [tex]AE<DC[/tex]. Остава [tex]AE=DC[/tex].
Няма да те лишавам от удоволствието сам да завършиш задачата. Сигурен съм, че го можеш!