9клас хомотетия

[ronito01]

Окр. к1 пресича окр.к2 в т.А
През А е построена права, която пресича к1 и к2 съответно в т.В и т.С.
Докажете,че допирателните към к1 и к2 през т.В и т.С са успоредни

[Knowledge Greedy]

ronito01 !
Има нещо пропуснато в условието и затова толкова дни задачата "виси". Я виж дали не е казано, че двете окръжности се допират в точката [tex]A ?[/tex] Пресичане е едно, допиране е друго. При пресичането подразбираме колкото се може повече общи точки на двете окръжности (без съвпадане на окръжностите!)
- т.е. две точки.

Хомотетия за Ронито.PNG (8.45 KiB) Прегледано 571 пъти

Да преминем към решението.
Знаеш, че всеки две окръжности са хомотетични. Проблем е кой (кои са) е центърът на хомотетия.
Също така знаеш, че съответните при хомотетия прави са успоредни.
Задаваме хомотетия с център точката [tex]A[/tex] , при която точката [tex]B[/tex] се изобразява в точката [tex]C[/tex]. Между другото това означава, че коефициентът на хомотетия е [tex]k=-\frac{AC}{AB}[/tex] при външно допиране.
Ъглите [tex]\angle BAO_{1} = \angle CAO_{2}[/tex], като връхни и тогава по първи признак [tex]\Delta ACO_{2}\sim \Delta ABO_{1}[/tex], от което следва, че точката [tex]O_{1}[/tex] се изобразява в точката [tex]O_{2}[/tex] и радиусът [tex]O_{1}B[/tex] се изобразява в радиуса [tex]O_{2}C[/tex] . Следователно [tex]O_{1}B\parallel O_{2}C[/tex], а това означава, че перпендикулярните на тях прави - допирателните (виж чертежа) [tex]c\parallel b .[/tex]
.....................................................................
Сега ти предлагам да си начертаеш чертеж, в който едната окръжност се намира вътре в другата - значи възможността за вътрешно допиране ( В този случай коефициентът на хомотетия ще е [tex]k=\frac{AC}{AB}[/tex] ).
Разсъжденията са аналогични и още по-добре ще разбереш задачата