Екстремални задачи в геометрията

[achkyy]

Много ще съм благодарен, ако ударите едно рамо за задачите

[kmitov]

Намираш производната в точка [tex]x_0>1[/tex]. [tex]f'(x_0)=-\frac{1}{(x_0-1)^2}[/tex]. Точката М е с координати [tex](x_0, \frac{x_0}{x_0-1})[/tex]. Допирателната е с уравнение [tex]y-\frac{x_0}{x_0-1}=-\frac{1}{(x_0-1)^2}(x-x_0)[/tex]
.
Пресечната точка с оста Ox се получава, като се положи y=0. Така [tex]x=x_0(x_0-1)+x_0=x_0^2[/tex].

Пресечната точка с оста Oy се получава, като се положи x=0. Така [tex]y=\frac{x_0}{x_0-1}+\frac{x_0}{(x_0-1)^2}=\frac{x_0^2}{(x_0-1)^2}[/tex].

Точките са [tex]A(x_0^2,0)[/tex] и [tex]B(0,\frac{x_0^2}{(x_0-1)^2})[/tex]

Лицето на триъгълника АОВ e [tex]S(x_0)=\frac{x_0^4}{2(x_0-1)^2}[/tex]

Намираме [tex]S'(x_0)=\frac{1}{2}\frac{4x_0^3(x_0-1)^2-2(x_0-1)x_0^4}{(x_0-1)^4}=\frac{x_0^3(x_0-2)}{(x_0-1)^3}[/tex]

При [tex]x_0>1[/tex], [tex]\frac{x_0^3}{(x_0-1)^3}>0[/tex] Следователно [tex]S'(x_0)<0[/tex] при [tex]1<x_0<2[/tex] и
[tex]S'(x_0)>0[/tex] при [tex]x_0>2[/tex]



Така най-малката стойност на S e при [tex]x_0=2[/tex], [tex]S(2)=\frac{2^4}{2(2-1)^2}=8[/tex]


Дано не съм сгрешил сметките някъде.