Някой може ли да помогне?

[Надетп]

Здравейте, днес ни дадоха задача по геометрия. Аз съм 6 клас и просто не мога да я реша. Дадох я на майка ми и баща ми да ми помогнат малко, но уви и те не можаха. Ето и какво гласи задачата:
Във вътрешността на неправилна триъгълна пирамида се намира произволна точка P. Ако със H1, H2, H3 и H4 са означени височините на пирамидата към 4-те страни (основата и 3-те околни страни), а с P1, P2, P3 и P4 са означени разстоянията от P към стените, докажете че [tex]\frac{P1}{H1 }[/tex] + [tex]\frac{P2}{H2}[/tex] + [tex]\frac{P3}{H3 }[/tex] + [tex]\frac{P4}{H4 }[/tex] = 1.

Ако някой може да помогне, ще съм благодарна. Трябва ми отговор спешно, моля, защото задачата е за утре, а нямам никаква идея как се решава. Това е цялата информация към задачата и няма нищо друго. Благодаря предварително

[monika_at]

Мило Наде, ще се постарая да дам решение, което да разбереш, дори и да няма чертеж. Задачата е за 6 клас и в този смисъл е трудна. Нека пирамидата е [tex]ABCD[/tex]
Нека лицата на стените на пирамидата означим съответно с [tex]S_1; S_2; S_3; S_4[/tex]Ако свържем точка Р с всеки един от върховете, ще получим 4 пирамидки, които запълват цялата пирамида. Това са:
[tex]ABDP; BCDP; ACDP; ABCP[/tex]Във всяка една от тях съответните разстояния [tex]P_1; P_2; P_3; P_4[/tex]са височини.
Тогава обемът на пирамидата, който ще означа с [tex]V[/tex] е сбор от обемите на тези четири малки пирамидки=>

[tex]V=\frac{1}{ 3} (S_1.P_1+S_2.P_2+S_3.P_3+S_4.P_4)=>3V=S_1.P_1+S_2.P_2+S_3.P_3+S_4.P_4[/tex]

От друга страна обемът на пирамидата може да се изрази по четири различни начина.

[tex]3V=S_1.H_1 ; 3V=S_2.H_2; 3V=S_3.H_3; 3V=S_4.H_4=>S_1=\frac{3V}{H_1 } ; S_2=\frac{3V}{H_2 }; S_3=\frac{3V}{H_3 } ; S_4=\frac{3V}{H_4 }[/tex]

Заместваме лицата на стените в горното равенство и получаваме:

[tex]3V=\frac{3V}{H_1 } .P_1+\frac{3V}{H_2 } .P_2+\frac{3V}{H_3 } .P_3+\frac{3V}{H_4 } .P_4[/tex] Разделяме двете страни на равенството на [tex]3V[/tex] и получаваме:
[tex]1=\frac{P_1}{H_1 } +\frac{P_2}{H_2 } +\frac{P_3}{H_3 } +\frac{P_4}{H_4 }[/tex]

[Надетп]

Благодаря много

[monika_at]

Ще бъде ли удобно, ако споделиш къде учиш? В МГ или профилирана паралелка?

[magi mg Baba Tonka]

Аз съм от класа на Надя. Да, ние учим в Математическа Гиманзия "Баба Тонка" Русе, но как се досетихте? Според мен тази задача не е с голямо ниво на трудност, но много ми харесва как сте я описали, затова поздравления!

[monika_at]

Задачата може би не е трудна за някои ученици, но определено не е ЗП Затова попитах, дали Надето не е ученичка в МГ или поне в профилирана паралелка.