Доказване на формулата S=r(r+2R) за правоъгълен триъгълник

[lady_viki]

Докажете, че лицето на правоъгълния триъгълник се изразява с формулата S=r(r+2R)
Благодаря предварително!

[Добромир Глухаров]

[tex]2R=c;\ r=\frac{a+b-c}{2}\Rightarrow r(r+2R)=\frac{a+b-c}{2}\cdot\frac{a+b-c+2c}{2}=\\=\frac{(a+b-c)(a+b+c)}{4}=\frac{(a+b)^2-c^2}{4}=\frac{a^2+2ab+b^2-c^2}{4}=\frac{2ab}{4}=\frac{1}{2}ab=S[/tex]

Използва се Питагорова Теорема: [tex]a^2+b^2=c^2[/tex].

[Добромир Глухаров]

Лице на правоъгълен триъгълник.png (14.11 KiB) Прегледано 884 пъти

Може да се използва и формулата за лице [tex]S=pr[/tex], която се извежда така: [tex]S_{\Delta ABC}=S_{\Delta ABO}+S_{\Delta BCO}+S_{\Delta ACO}=\frac{1}{2}AB.OP+\frac{1}{2}BC.OM+\frac{1}{2}AC.ON=\\=\frac{1}{2}AB.r+\frac{1}{2}BC.r+\frac{1}{2}AC.r=\frac{AB+BC+AC}{2}\cdot r=pr[/tex]

Сега имаме: [tex]CM=CN=r[/tex] (CMON - квадрат) и [tex]r(r+2R)=r(r+c)=r(CM+AP+PB)=\frac{1}{2}r(2CM+2AP+2PB)=\\=\frac{1}{2}r(CM+CN+AP+AN+PB+BM)=\frac{1}{2}r(CM+MB+CN+NA+AP+PB)=\\=\frac{1}{2}r(CB+CA+AB)=\frac{AB+BC+CA}{2}r=pr=S[/tex]

[Гост]

Как намираме формулата а+в-с/2?