Задача за 11/12 клас геометрия

[valka7a]

Някой би ли ме посветил как да реша тази задача?
Даден е триъгълник ABC със страна AB=3, ъгъл BAC=α и ъгъл ACB=2π/3. В триъгълника са разположени две окръжности с равни радиуси, всяка от които има следното свойство: допира се до страната AB, допира се до точно една от останалите 2 страни на триъгълника и се допира до другата окръжност.Докажете че радиуса на двете окръжности е
r=3/2+cotgα/a+cotg(π/6-α/a)

[ева]

[tex]\triangle[/tex]АВС,[tex]\angle[/tex]АСВ=[tex]\frac{2\pi}{3}[/tex]=120[tex]^\circ[/tex],[tex]К_{1 }[/tex]([tex]О_{1 }[/tex];r) се допира до АС,[tex]К_{2 }[/tex]([tex]О_{2 }[/tex];r) се допира до ВС
r=?
Нека т.Н,т.Р лежат на отс.АВ,като Н[tex]О_{1 }[/tex][tex]\bot[/tex]АВ,Р[tex]О_{2 }[/tex][tex]\bot[/tex]АВ
А[tex]О_{1 }[/tex] е ъглополовяща т.е. [tex]\angle[/tex]ВА[tex]О_{1 }[/tex]=[tex]\angle[/tex]НА[tex]О_{1 }[/tex]=[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]
([tex]\triangle[/tex]АН[tex]О_{1 }[/tex]-правоъгълен) cotg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=[tex]\frac{AH}{HO_{1 }}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AH=rcotg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] (1)
В[tex]О_{2 }[/tex] е ъглополовяща т.е. [tex]\angle[/tex]АВ[tex]О_{2 }[/tex]=[tex]\angle[/tex]РВ[tex]О_{2 }[/tex]=[tex]\frac{60^\circ-\alpha}{2}[/tex]
([tex]\triangle[/tex]PB[tex]O_{2 }[/tex]-правоъгълен) cotg([tex]\frac{60^\circ-\alpha}{2}[/tex])=[tex]\frac{BP}{PO_{2 }}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] BP=rcotg(30[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]) (2)

Скрит текст: покажи

От чертежа се вижда,че:

АН+НР+РВ=АВ (ползваме (1),(2),АВ[tex]О_{2 }[/tex][tex]О_{1 }[/tex] е трапец)
rcotg([tex]\frac{\alpha}{2}[/tex])+[tex]O_{1 }[/tex][tex]O_{2 }[/tex]+rcotg(30[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex])=3
rcotg([tex]\frac{\alpha}{2}[/tex])+2r+rcotg([tex]\frac{\pi}{6}[/tex]-[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex])=3

r=[tex]\frac{3}{2+cotg(\frac{\alpha}{2})+cotg(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2})}[/tex]