Вписан четириъгълник - 10 клас

[nik4oo]

Здравейте, имам следната задача, помогнете ако имате идеи:

В окръжност е вписан четириъгълник ABCD, за който AB=66, BC=77, AC=77.Ъглополовящите на ъглите при върховете B и D се пресичат в точка M от диагонала AC. Намерете CD и AD.

Установих, че отношението на BC към AB е същото като отношението на CD към AD, но не мога да намеря самите страни.

Отговорите в учебника са 49 и 42 ако ми обясните как да достигна до тях ще съм ви благодарен

[math10.com]

Нека [tex]\angle ABC=\beta[/tex].Намираш [tex]cos \beta =\frac{3}{7}[/tex](това става най-лесно като спуснеш височина към [tex]AB[/tex] ,която е и медиана [tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен)
От свойството на ъглополовящите вече си открил ,че [tex]CD:AD=7:6[/tex]
Нека [tex]CD=7x ; AD=6x[/tex] , за [tex]\triangle ACD[/tex] прилагаме Косинусова теорема:
[tex]AC^2=AD^2+CD^2-2AD.CD.cos{(180^\circ - \beta)}[/tex] (Това е от свойството на вписан четириъгълник)
[tex]77^2=36x^2+49x^2+2.6x.7x.\frac{3}{7}[/tex]
[tex]77^2=121x^2[/tex]
[tex]x^2=49 \Right x=7[/tex]
[tex]\Right AD=6x=42; CD=7x=49[/tex]

[nik4oo]

Благодаря!