Задача за окръжност, полуокръжност...

[CuMo]

Здравейте, бих искал да видя решения на тази задача. Главният ми проблем е, че не знам как да докажа, че 2 прави са успоредни(като тръгнете да решавате ще разберете за какво говоря). Пробвах няколко предложения от справочник, но не можах да го измисля.

http://gogeometry.com/problem/p403_circular_sector_90_degrees_area.htm

Превод на условието: На фигурата е показана четвърт окръжност АОВ и полуокръжност с диаметър ОВ. Окръжността D е допирателна на ОА и дъгите АВ и ОВ. Ако [tex]S[/tex], [tex]S_{1}[/tex], [tex]S_{2}[/tex], [tex]S_{3}[/tex] са зъщрихованите(означените) фигури, докажете че [tex]S = S_{1} + S_{2} + S_{3}[/tex]

[monika_at]

kk.png (31.4 KiB) Прегледано 344 пъти

Следвай означенията на чертежа.
Означаваме радиусите:
[tex]OB=OA=2x; CO=CB=CM=x; DM=DP=DT=r; OT=2x=>OD=2x-r; \angle DOC=\alpha =>\angle POD=90^\circ -\alpha[/tex]

Прилагаме косинусова теорема за [tex]\Delta DOC=>cos\alpha =\frac{2x-3r}{ 2x-r}[/tex]

[tex]\Delta DPO: \angle DPO=90^\circ ; \angle POD=90^\circ -\alpha =>cos\alpha =sin(90^\circ -\alpha )=sin\angle POD=\frac{PD}{ OD}[/tex]=>

[tex]\frac{2x-3r}{ 2x-r}=\frac{r}{2x-r } =>2x^2-5xr+2r^2=0=>\frac{x}{ r} =2; \frac{x}{r } =\frac{1}{ 2}[/tex].

Но [tex]x>r=>x=2r=>r=\frac{x}{2 }[/tex]
От лицето на четвъртинката кръг вадим лицето на половината и получаваме, че

[tex]S_1+S_2+S_3+S=\frac{\pi x^2}{2 }[/tex]
От друга страна [tex]S=\frac{\pi x^2}{4 } =>S_1+S_2+S_3=\frac{\pi x^2}{ 4} =S[/tex]

[CuMo]

Благодаря за решението. Аз бях спуснал перпендикуляр от D към ОВ. Така получавам правоъгълник с неговите два диагонала и се опитвах да докажа, че единия диагонал(този който го няма на Вашия чертеж) е успореден на DC. Пробвах доста неща, но нещо не можах да го измисля. По едно време се сетих за синусова и косинусова теорема, но нямах идея къде да ги приложа така, че да получа резултат, който да ми е от полза, и през цялото време се опитвах да я реша без тригонометрия.

Само да добавя:

[tex]\frac{2x-3r}{ 2x-r}=\frac{r}{2x-r } =>2x^2-5xr+2r^2=0[/tex]

виждам какво сте направили, но мисля че е ненужно понеже знаем, че [tex]2x-r\ne 0[/tex]

[monika_at]

Само да добавя:

[tex]\frac{2x-3r}{ 2x-r}=\frac{r}{2x-r } =>2x^2-5xr+2r^2=0[/tex]

виждам какво сте направили, но мисля че е ненужно понеже знаем, че [tex]2x-r\ne 0[/tex]

Абсолютно прав си