Вписан четириъгълник

[emsihammer98]

Здравейте! Искам да попитам нещо относно една задача. Реших я донякъде и след това нещо малко ми липсва, за да я дореша. Прикачвам и чертеж.

Условие : Четириъгълника ABCD от чертежа е квадрат; MA = MD = ND = NC. Да се докаже,че AF= AB.

Ето и моето решение:
Разгл : ▲ MCD и ▲ACN
1) CD= BC
2) MD= CN (по условие)
3) [tex]\angle[/tex] D= [tex]\angle[/tex] C = 90°
=> ▲ MCD ≅ ▲ACN
[tex]\angle[/tex] MCD = [tex]\angle[/tex] CBN =[tex]\alpha[/tex]
[tex]\angle[/tex] BNC = [tex]\angle[/tex] MCD= 90 - [tex]\alpha[/tex]

[tex]\angle[/tex] BCF= [tex]\angle[/tex] C - [tex]\angle[/tex] MCD= 90-[tex]\alpha[/tex]a
=> [tex]\angle[/tex] BFC= 180 - ([tex]\angle[/tex] CBN + [tex]\angle[/tex] BCF)= 180- ([tex]\alpha[/tex] + 90 -[tex]\alpha[/tex]) = 90
=>[tex]\angle[/tex] F= 90°
[tex]\angle[/tex] CMD = 180 - ([tex]\angle[/tex] D +[tex]\angle[/tex] MCD)= 180 - (90+[tex]\alpha[/tex] )= 90 - [tex]\alpha[/tex]a
=> [tex]\angle[/tex] AMF = 180- [tex]\angle[/tex] CMD = 90 +[tex]\alpha[/tex]
[tex]\angle[/tex] ABF = 90 - [tex]\angle[/tex] CBN = 90 -[tex]\alpha[/tex]

=> [tex]\angle[/tex] A + [tex]\angle[/tex] F= 90°+ 90°= 180°
[tex]\angle[/tex] AMF + [tex]\angle[/tex] ABF = 90 +[tex]\alpha[/tex] + 90-[tex]\alpha[/tex]= 180°
=> около ABFM може да бъде описана окръжност

От там нататък стигам до някъде и после нищо.

[math10.com]

От там нататък остава само следното:
[tex]\angle MFB+\angle MAB=180^\circ \Right \angle MFB=90^\circ[/tex]
[tex]\triangle ABM,\triangle DCM[/tex] са еднакви по 1-ви признак следователно [tex]\angle ABM=\angle DCM=\alpha[/tex] ,като СЕЕТ
[tex]\angle ABM=\alpha =\frac{1}{2}\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{AM}=\angle AFM , \Right \angle AFB=\angle MFB-\angle AFM=90^\circ -\alpha =\angle ABF[/tex]
[tex]\Right \triangle ABC[/tex] е равнобедрен [tex]AF=AB[/tex]