Произволен триъгълник - задачи свързани с ъглополовящи

[jnn6000]

1 зад. В ▲ABC BL е ъглополовяща.От точка L са спуснати перпендикуляри LM и LN към страните AB и BC (M принадлежи на AB,а N на BC).Да се намерят AB и BC,ако AC=28,AM =5,CN =9.

2 зад. В ▲ABC т. L е център на вписаната окръжност.Дадени са AL=√13,BL=3√13 и ъгъл ALB=120°.Да се намери големината на ъгъл ACB и дължините на страните на ▲ABC.

3 зад. В ▲АВС АВ=c,CA=b и ъгъл BAC = 2 пъти по ъгъл ABC.Да се намери BC.

4.зад. В ▲АВС е построена ъглополовяща AL(L принадлежи на BC) и точка L е свързана със средата M на AC,като ъгъл CAB = 2 пъти ъгъл ABC и LM е успоредна на АB.
а) Да се намерят ъглите на ▲ABC
б)Ако LM=m,да се намери лицето на вписания в ▲ABC кръг.

[MENKA]

2 ЗАДАЧА

1.По кос Т за т-к ABL намираме АВ=13
2. Намираме лицето на т-к ABL=(AL*BL*СИНУС 120)/2
3.Лицето на т-к ALB=(AB*LM)/2-намираме LM=LN=LK=r,където в този ред са перпендикулиарни на АВ,ВС,СА.
4.От правоъг т-к AML намираме ML/AL=СИНУС MAL и косMAL=–1-синус²)^1/2
5.Тъй като AL-ъгл.,то синус BAC=2СИНУС MAL*КОС MAL
6.Аналогично от правоъг. т-к BML намираме синус АВС
7.Намираме косинусите на ъглите BAC и ABC.
8.Синус АСВ=син(A+B)
9.Прилагаме кос Т за AC и ВС и решаваме системана от 2 уравнениа,където AC,BC са неизвестни.

[MENKA]

3 задача
AL-гл на ъгъл ВАС=2x ъгъл АВС
Следователно ъгли BAL=ALB=x
AL=BL
AL²=ab-BL*CL
От свойството на ъгл BL/CL=c/b и BL=(CL*c)/b и го заместваме в горното и намираме първо CL,а след това за равенството за BL като заместим със CL.

[MENKA]

4 ЗАДАЧА
а/LM=AB/2-следователно LM е средна отсечка в т-к АВС и оттук и L е среда на BL и следва,че т-к ВАС е правоъг с ъгъл ВАС-90 градуса
По условие ъгъл ВАС=2*ъгъл АВС,но AL-ъгл на ъгъл ВАС
Следва,че ъгъл BAL=ъгъл ABL
Но AB,LM са успоредни и AL ги пресича и така ъгъл BAL=ъгъл ALM-съответни ъгли
Следователно т-к BAL- равнобедрен и AL=BL
AL-ъгл. значи BAL=ABL=ALM=45 градуса и т-к ALM също равнобедрен,като AM=ML
Така ъгъл А-90 градуса
ъгли ABC=ACB=45 градуса

[MENKA]

4 Б/
LM=AB/2=m AB=AC=2m
BC²=2AB²=2*4*m²-Питагорова теорема
BC=2√2 m

r=(a+b-c)2=(2m+2m+2√2m)/2=
=(2m(2+√2))/2=(2+√2)m