Задача със симетрали

[student555]

Здравейте, имам една лесна задача, но нещо ми убягва, моля да ми помогнете. Даден е тъпоъгълен триъгълник ABC [tex]\angle[/tex] C е по-голям от 90°. Симетралите на страните АC и BC пресичат AB в т. M и N, a P е пресечната им точка ( на симетралите) Дa се докаже , че CP е ъглополовяща на \angle MCN.

[Добромир Глухаров]

Симетрали.png (45.44 KiB) Прегледано 298 пъти

[tex]\angle NPC=\frac{1}{2}\widehat{CB}=\angle BAC=\alpha[/tex]

[tex]\angle MPC=\frac{1}{2}\widehat{AC}=\angle ABC=\beta[/tex]

[tex]\angle ACP+\angle MPC=90^\circ[/tex]

[tex]\alpha + \angle MCP + \beta = 90^\circ[/tex]

[tex]\angle MCP= 90^\circ-\alpha-\beta[/tex]

[tex]\angle BCP+\angle CPN=90^\circ[/tex]

[tex]\beta+ \angle NCP + \alpha = 90^\circ[/tex]

[tex]\angle NCP= 90^\circ-\alpha-\beta[/tex]

[tex]\Rightarrow \angle MCP=\angle NCP[/tex]

[student555]

Само не разбрах защо [tex]\angle[/tex] NPC е равен на α и е равен на \angle BAC

[Добромир Глухаров]

P е център на описаната окръжност. Ъгъл NPC е половината от ъгъл BPC, който, като централен, се измерва с дъгата BC.

Ъгъл BAC е вътрешно вписан, опира се на дъгата BC, следователно е половината от нея.

[student555]

Благодаря, господин Глухаров!