Произволен триъгълник - задачи свързани с ъглополовящи

[jnn6000]

1 зад. В ▲KLM са прекарани ъглополовящите KN и LP,пресичащи се в точка Q,като PN=1.Да се намерят страните на ▲PNQ,ако точка М лежи на окръжността,определена от точките N,P и Q.

2 зад. В ▲ABC с големини на ъглите α и β при върховете A и L е вписана окръжност с радиус r,която се допира до страните на триъгълника съответно в точките P,Q и F.Да се намери лицето на ▲PQF.

[ева]

1зад. [tex]\angle[/tex]MKL=[tex]\alpha[/tex],[tex]\angle[/tex]KLM=[tex]\beta[/tex],PQ=х= ? QN=у= ?
т.М,т.N,т.P, т. Q лежат на една окръжност К(О;R) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]NMP+[tex]\angle[/tex]PQN=180[tex]^\circ[/tex]
180[tex]^\circ[/tex]-([tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex])+[tex]\angle[/tex]LQK=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] -[tex]\alpha[/tex]-[tex]\beta[/tex]+180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]-[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]=0 ... [tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex]=120[tex]^\circ[/tex] тогава
[tex]\angle[/tex]NMP=[tex]\angle[/tex]LMK=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]PQN=120[tex]^\circ[/tex] (1)

(cos T-[tex]\triangle[/tex]PQN) [tex]1^{2}[/tex]=[tex]x^{2}[/tex]+[tex]у^{2}[/tex]-2хуcos120[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex]+[tex]у^{2}[/tex]+ху=1 (2)
т.Q-пресечна т.на ъглополовящите [tex]\Rightarrow[/tex] MQ е ъглополовяща,получихме:
вписаният [tex]\angle[/tex]QMP=30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] централният [tex]\angle[/tex]POQ=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]PQO е равностранен т.е. х=R
По същия начин доказваме,че у=R [tex]\Rightarrow[/tex] х=у (3) [зам.(3) в (2) ]
3[tex]у^{2}[/tex]=1 [tex]\Rightarrow[/tex] у=[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex],х=[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
отг. [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex];[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex];1