Триъгълник

[student555]

В ▲ABC , ≤ BAC = 45°, а правата, перпендикулярна на ъглополовящата на ≤BAC, пресича правата BC в точка D, при което BD= AB + AC. Да се намерят мерките на ≤ABC и ≤АCB ? Аз открих, че са съответно 90° и 45° , но в отговора има и 30° и 105°. Не мога да достигна до решение във втория случай.

[ptj]

Тази задача ми се падна на кандидатстуденския изпит в ПУ в далечната 1989г. Така и не намерих тогава авторовото решение, но я реших с хитрост.

1. Направих построение според условието и доказах, че то дава единствени два триъгълника.
2. Измерих с транспортир ъглите за да знам какъв отговор трябва да се получи.
3. Доказах, че тръгълниците с така намерените ъгли изпълняват условието на задачата.

П.П. Комисията, едва след 2-рата контестация, успя да разбере решението и да ми признае пълен брой точки...

[monika_at]

В ▲ABC , ≤ BAC = 45°, а правата, перпендикулярна на ъглополовящата на ≤BAC, пресича правата BC в точка D, при което BD= AB + AC. Да се намерят мерките на ≤ABC и ≤АCB ? Аз открих, че са съответно 90° и 45° , но в отговора има и 30° и 105°. Не мога да достигна до решение във втория случай.

Само не ми стана ясно, правата, която е перп. на ъглополовящата през коя точка се построява?

[student555]

Перпендикулярната на ъглополовящата права се построява през точка А.

[monika_at]

Реших втория случай. По-късно ще пусна решение с чертеж.

[monika_at]

tr105.png (25.13 KiB) Прегледано 299 пъти

Забележка: Т.[tex]L[/tex] е пресечна точка на ъглополовящата и [tex]BC[/tex]. Пропуснала съм да я означа на чертежа.

Продължаваме правата АВ след т.А и построяваме т.[tex]F: BF=AC+CB=>\Delta FDB[/tex]-равнобедрен.
[tex]\angle DAC=90^\circ -\angle CAL=90^\circ -22^\circ 30'=67^\circ 30'[/tex]
[tex]\angle FAD=180^\circ -(90^\circ +22^\circ 30')=67^\circ 30'=>\angle FAD=\angle DAC[/tex]=>
[tex]\Delta FAD; \Delta CAD[/tex]- еднакви по първи признак=>[tex]\angle FDA=\angle CDA=\alpha[/tex]=>
[tex]\angle ALD=90^\circ -\alpha ; \angle FBD=180^\circ -4\alpha[/tex]

[tex]\angle ALD=\angle LAB+\angle ABL[/tex]- външен ъгъл за [tex]\Delta ABL[/tex]=>

[tex]90^\circ -\alpha =22^\circ 30'+180^\circ -4\alpha =>\alpha =37^\circ 30'=>\angle FDC=75^\circ =>\angle ACB=105^\circ[/tex]

[student555]

Много благодаря.