Ъглополовяща и височина

[student555]

Докажете, че ако височината при върха C в ▲ АBC е два пъти по-малка от ъглополовящата при външния ъгъл при C, то
|≤ABC - ≤BAC| = 60° . С чертежа се затруднявам и затова сигурно не мога да я докажа.

[math10.com]

Това е една готина и доста лесна задача за .........................7-ми клас.

Нека [tex]L,H \in AB[/tex] са съответно петите на ъглополовящата на външният ъгъл и височината при върха [tex]C[/tex]
[tex]\angle LHC=90^\circ ; CH=\frac{1}{2}CL \Rightarrow \angle HLC=30^\circ[/tex] По теорема признак ,за катет срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex] в правоъгълен триъгълник.
[tex]\angle ACL=\frac{180^\circ -\gamma}{2}=90^\circ -\frac{\gamma}{2} \Rightarrow \angle LAC=180^\circ -30^\circ -90^\circ -\frac{\gamma}{2}=60^\circ +\frac{\gamma}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle CAB=180^\circ -\angle LAC=180^\circ -(60^\circ +\frac{\gamma}{2})=120^\circ -\frac{\gamma}{2}[/tex] , като съседни ъгли.
[tex]\Rightarrow \angle ABC=180^\circ -(\gamma +120^\circ -\frac{\gamma}{2})=60^\circ -\frac{\gamma}{2}[/tex] сбор от
ъглите в триъгълник.
[tex]\Rightarrow |\angle BAC-\angle ABC|=|120^\circ -\frac{\gamma}{2}-(60^\circ -\frac{\gamma}{2})|=60^\circ[/tex]

[student555]

Благодаря, тя е лесна, но явно ми трябва повече логическо мислене.