Правоъгълник вписан в триъгълник

[abc]

В триъгълник с основа 4дм и височина 8дм е вписан правоъгълник с най-голямо лице. Да се намери лицето на правоъгълника.

[ptj]

Ако се има в предвид произволен триъгълник, то задачата е непълна. При така зададените ограничения мога да оставя коя да е друга страна на клони към безкрайност и тогава лицето на кой да е вписан правоъгълник ще клони към 0.

Ако се има в предвид "измежду всички триъгълници отговарящи на посочените условия", то е коректно абзаца в кавички да се вмъкне в условието.

[Knowledge Greedy]

Задачата разбираме така.
Във всички триъгълници, които имат страна с дължина [tex]4[/tex] и височина към нея [tex]8[/tex] се вписват всички възможни правоъгълници. Под вписан в триъгълника правоъгълник ще разбираме правоъгълник, чиито върхове са вътрешни за правоъгълника или върху контура на правоъгълника. Измежду тези правоъгълници разглеждаме този, който е с максимално лице на повърхнината. Да се намери това лице.

Отговор: максималното лице на такъв правоъгълник, във всички възможни случаи, е [tex]8[/tex].

Реплика към

Ако се има в предвид произволен триъгълник, то задачата е непълна. При така зададените ограничения мога да оставя коя да е друга страна на клони към безкрайност и тогава лицето на кой да е вписан правоъгълник ще клони към 0.[tex]\,\....[/tex]

Оцветеното (от мен в червено) изглежда абсолютно нелепо. ptj, прощавай, как разбра това условие?

Ясно е, че триъгълник с височина [tex]8[/tex] няма как да съществува, ако височината не е спусната към страната [tex]4[/tex]. Така задачата е абсолютно ясна, определена и с еднозначен отговор!

[ptj]

Ще ти дам един пример:

[tex]a=4; h_a=8; b=1000000[/tex]

Колко е максималното лице за вписан в този триъгълник квадрат?

[Knowledge Greedy]

Около [tex]10^{-9}[/tex]. Т.е. [tex]S_{kbadpat}<\frac{1}{1000000000}[/tex]
Но това е вече съвсем друга задача! Тук говорим не за квадрат, а за правоъгълник.

[Knowledge Greedy]

Ще разгледаме няколко случая с единственото съображение, задачата да изглежда по-ясна. На практика първите два случая са напълно излишни, но и при тях в чист вид се прилагат признаците за подобие (евентуално теорема на Талес или във вид чрез хомотетия). Те подготвят за същинското решение - случаите III и IV, заедно с добавката за принадлежност върховете на правоъгълника на контура на триъгълника.

Триъгълникът по основа и височина 2.PNG (8.38 KiB) Прегледано 808 пъти

I-ви случай (Чертеж 1.1). От подобието [tex]\Delta KMC \sim \Delta ABC[/tex] следва,че [tex]\frac{8-y}{8 }=\frac{x}{4 }[/tex] , откъдето [tex]y=8-2x[/tex].
Заместваме във формулата за лицето на правоъгълника [tex]ANMK[/tex] и като изследваме функцията [tex]S_{ANMK}=S(x)=x(8-2x)[/tex] с дефиниционно множество [tex]0<x<4[/tex]

(- както искаме - с производни; с точeн квадрат и квадратен тричлен; с неравенството CА-СГ)- получаваме, че [tex]8[/tex] e най-голямата стойност, която може да достигне лицето на правоъгълника. Случва се единствено при [tex]x=2[/tex] и [tex]y=4[/tex].

II -ри случай (Чертеж 1.2). Основата [tex]LM[/tex] на правоъгълника [tex]KLMN[/tex] e върху хипотенузата [tex]BC[/tex].(Означенията са стандартните, като част от тях са дублирани върху чертежите, задно с част от условията.)
Разглеждаме триъгълниците [tex]\Delta KNA[/tex] и [tex]\Delta BCA[/tex]. Те са подобни - също по първи признак.
От подобието следва [tex]\frac{x}{a } = \frac{h-y}{h }[/tex]. Оттук [tex]y=h-\frac{h}{a}x[/tex].
Заместваме във формулата [tex]S_{KLMN}=xy[/tex] за лицето на правоъгълника [tex]KLMN[/tex] и получаваме функцията на [tex]x[/tex] , [tex]0<x<a[/tex]:
[tex]S_{KLMN}=S(x)=x\left ( h-\frac{h}{a}x \right )[/tex]
Разбира се, според условието [tex]S_{\Delta ABC}=\frac{ah}{2 }=\frac{4.8}{2 } \Leftrightarrow ah=32[/tex]
Изследвайки тази функция, откриваме отново, че [tex]maxS(x)=8[/tex], като този максимум се достига при [tex]x=\frac{a}{2 }[/tex]. Тогава [tex]y=\frac{h}{2}[/tex]

III -ти случай (Чертеж 1)Триъгълникът [tex]\Delta ABC[/tex] е остроъгълен. Двойката подобни триъгълници е идентична на разглежданата в предишните случаи.

Триъгълникът по основа и височина 1.PNG (4.52 KiB) Прегледано 808 пъти

[tex]\Delta NMC \sim \Delta ABC \Rightarrow \frac{8-y}{y }=\frac{x}{4}\Rightarrow y=8-2x\Rightarrow S=x(8-2x)\Rightarrow maxS(x)=S(2)=8[/tex]

IV -ти случай (Чертеж 4)

Чертеж IV.PNG (7.15 KiB) Прегледано 808 пъти

Триъгълникът [tex]\Delta ABC[/tex] е тъпоъгълен.Разглеждаме триъгълниците [tex]\Delta KNA[/tex] и [tex]\Delta BCA[/tex]. Те са подобни по първи признак.
От подобието следва [tex]\frac{x}{a } = \frac{h-y}{h }[/tex]. Оттук [tex]y=h-\frac{h}{a}x[/tex].
Заместваме във формулата [tex]S_{KLMN}=xy[/tex] за лицето на правоъгълника [tex]KLMN[/tex] и получаваме лицето като функция на [tex]x[/tex] , с дефиниционно множество [tex]0<x<a[/tex]:
[tex]S_{KLMN}=S(x)=x\left ( h-\frac{h}{a}x \right )[/tex]
Според условието [tex]ah=32[/tex]
Изследвайки тази функция, откриваме че [tex]maxS(x)=8[/tex], като този максимум се достига при [tex]x=\frac{a}{2 }[/tex]. Това се получава при височина на правоъгълника [tex]y=\frac{h}{2}[/tex]

Остана да обсъдим въпроса, защо не е възможно някой от върховете да е вътрешна точка, а не точка по контура. При допускането на такава възможност за правоъгълника с максимално лице, с помощта на ротация, транслация и хомотетия с коефициент [tex]k>1[/tex] можем да "раздуем" правоъгълника така, че той да стане или с цяла страна, успоредна на страна на триъгълника (бидейки вътре в него), или вътрешният връх да застане върху контура. И в двата случая получаваме противоречие с подчертаното.

Примерът с [tex]AC =1000000[/tex] (виж случай IV) показва, че и триъгълник подобен на игла има чувствително голямо лице на максималния вписан правоъгълник - около 8 милиарда пъти по-голямо от лицето на максималния вписан квадрат