Триъгълник и медиани

[yani.m]

В даден триъгълник две от медианите му имат дължини 9 и 12, а един от ъглите, които те сключват е равен на 135[tex]^\circ[/tex]. Лицето на дадения триъгълник е равно на: ?

[ptj]

[tex]\Delta ABC[/tex], [tex]AM[/tex] и [tex]BN[/tex] - медиани

[tex]\Delta ABC \sim \Delta NMC[/tex] с коефициент на подобие 2:1

[tex]S_{\Delta ABC}=4S_{ \Delta NMC}[/tex]

[tex]\frac{3S_{\Delta ABC}}{4}=S_{ABMN}=\frac{1}{2}9.12.sin(135^\circ)=27\sqrt{2}[/tex]

[tex]S_{\Delta ABC}=36\sqrt{2}[/tex]

[Knowledge Greedy]

А може да ползваме и формулата за лице на триъгълник по дадени медиани [tex]m_a[/tex] и [tex]m_b[/tex], и ъгъл [tex]\varphi[/tex] между тях
[tex]S=\frac{2}{3}m_am_b.sin\varphi[/tex]
Доказателство на формулата:
[tex]S=6.\left [ \frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{3}m_a.\frac{2}{3}m_bsin\varphi \right ) \right ][/tex]
(защото свързвайки медицентъра с върховете и със средите на страните, получаваме [tex]6[/tex] равнолицеви триъгълника)

В задачата [tex]S_{\Delta ABC}=\frac{2}{3}.9.12.sin 135^\circ=36\sqrt{2}[/tex]