10клас- ДОКАЗАТЕЛСТВО

[lady_viki]

Бихте ли ми помогнали със задача 12? Благодаря предварително

[ptj]

От свойството на медицентъра имаме [tex]MC:CN=2:1 \Leftrightarrow CN:MN=3:1[/tex]

Тогава двете височини от [tex]C[/tex] и [tex]М[/tex] съоветно към [tex]АN[/tex] ще се отнасят една към друга в съотношение [tex]CN:MN=3:1[/tex] (подобни триъгълници).

т.е. [tex]S_{\Delta ANC}:S_{\Delta ANM}=3:1[/tex] (обща страна [tex]AN[/tex])

съобразявайки, че [tex]S_{\Delta ANC}=S_{\Delta ANM}+ S_{\Delta AMC}[/tex], намираме

[tex]S_{\Delta ANM}: S_{\Delta AMC}=1:2[/tex] и

[tex]S_{\Delta AMC}=\frac{2}{3}S_{\Delta ANC}=\frac{2}{3}(\frac{1}{2}S_{ABC})=\frac{1}{3}S_{ABC}[/tex]

В горното използвахме, че [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]\Delta ANC[/tex] имат обща височина от върха [tex]C[/tex],
a съответните страни [tex]AN:AB=1:2[/tex] .

(*) Пъравата част може да е по-къса ако се използва формулата [tex]S=\frac{a.b.sin \gamma}{2}[/tex], но не съм сигурен в кой клас сте.

---------------------------------------------------------

[Knowledge Greedy]

Според задача 13 от сканирания текст, би трябвало да е от най-голям клас

[math10.com]

А формулата [tex]S=\frac{a.b.sin \gamma}{2}[/tex] , може да си я изведе всеки 9-то класник който е минал материала по тригонометрия.От [tex]\Delta AHC ,( H\in BC ;AH\bot BC)[/tex] изразяваме тригонометрично [tex]h_a=b.sin \gamma[/tex] и след това заместваме във формулата [tex]S=\frac{a.h_a}{2}[/tex] учена още в 5-ти клас