Описан и вписан четириъгълник

[katal_latem]

Четириъгълникът ABCD е вписан в оксъжност с d=AC. Aко ъгълBAD=60 и четириъгълникът може да се опише около окръжност с радиус 1, то лицето на ABCD=?

[Knowledge Greedy]

Скрит текст: покажи

[Knowledge Greedy]

Ако подчертаното в условието
"Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност с d=AC. Aко ъгъл BAD=[tex]60^\circ[/tex] и четириъгълникът може да се опише около окръжност с радиус 1, то лицето на ABCD=?",
означава, че AC е диаметър на тази окръжност, то задачата се свежда до няколко питагорови теореми.

Вписан и описан 4-gon.PNG (8.19 KiB) Прегледано 521 пъти

Така се оказва, че центърът на вписаната окръжност лежи на диагонала [tex]AC[/tex] и търсеното лице е удвоеното лице на [tex]\Delta ABC[/tex], а именно [tex]S=2S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}(2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6})[/tex]

[freegame]

ДА ОБАЧЕ малкият триъгълник е правоъгълен с ъгъл 30 и би трябвало 2.[tex]\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex]=[tex]\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex], но не е.
Правилният отговор е S= [tex]{\frac{6+4\sqrt{3}}{3}}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Макар и със закъснение, ще поправим грешката. Тя е в сметките. На чертежа са отразени правилните дължини.

Корекцията благодарение на freegame.png (6.42 KiB) Прегледано 460 пъти

Със същата идея [tex]S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=2.\frac{1}{2}(1+\sqrt{3})\left ( 1+\frac{\sqrt{3}}{3} \right )[/tex]
Така, благодарение на забележката на freegame, достигаме до истинския отговор [tex]S_{ABCD}=\frac{6+4\sqrt{3}}{3}[/tex].