Няколко задачи от РУ "Ангел Кънчев"

[Wanko]

Здрасти на всички ;>
Имам затруднения с няколко задачки от РУ /конкурсни изпити/:
1.В равнобедрен трапец диагоналите са перпендикулярни, а средната му основа е 7см. Да се намери лицето на трапеца.
2.Правоъгълен трапец с бедро 10см. е описан около окръжност с радиуст 4см. Да се пресметнат дължините на страните и лицето на трапеца.
3.Диагоналите AC и BD на равнобедрен трапец с основа AB се пресичат в точка O под прав ъгъл и AO=8, DO=6. През точка О е прекарана права MN (M \in AD, N \in BC), която е перпендикулярна на BC. Намерете дължината на отсечката MN.

Благодаря за вниманието ;]

[martin123456]

1
[tex]AC \cap BD=O[/tex]. [tex]\angle OAB=\angle OBA=45^\circ=\angle OCD =\angle ODC[/tex]. нека [tex]OA=x[/tex], [tex]OC=y[/tex]=>[tex]AB=\sqrt{2}x[/tex], [tex]CD=\sqrt{2}y[/tex]. по условие [tex]\sqrt{2}(x+y)=14[/tex], [tex]x+y=7\sqrt{2}[/tex]. [tex]S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{DCB}=\frac{AO.BD}{2}+\frac{CO.BD}{2}=\frac{BD.AC}{2}=\frac{(x+y)^2}{2}[/tex]

[martin123456]

2
в правоъгълен трапец [tex]2r=h[/tex], т.е. [tex]h=AD=8[/tex]=>[tex]BC=10[/tex]. описан => [tex]AB+CD=AD+BC=18[/tex]=>[tex]S=\frac{a+b}{2}h=72[/tex]
спускаме височината [tex]CH[/tex]. [tex]AHCD[/tex] е правоъгълник. [tex]AH=DC=x[/tex]. [tex]\Delta CHB[/tex]: [tex]HB=6[/tex]. [tex]x+x+6=18[/tex]

[estoyanovvd]

Друго решение на Зад.1. Построяваш СК успоредна на BD и К да е върху правата АВ. Лицето на триъгълника АКС е равно на лицето на трапеца ABCD (докажи!). PQ е средна отсечка в АКС и е равна на MN(пак трябва да го докажеш!). Сега вече АК е 14см и лесно намираш катетите АС и КС по Питагоровата теорема(те са равни!). Остава да намериш лицето на АКС и си готов.

[martin123456]

3
[tex]\angle DAO=\angle OBC=\alpha[/tex]=>[tex]\angle CON = \alpha[/tex]=>[tex]\angle MOA=\alpha[/tex]. аналогично [tex]\angle MDO=90^\circ-\alpha=\angle MOD[/tex]=>[tex]MD=MO=MA[/tex]=>[tex]MO[/tex] e медиана в [tex]\Delta AOD[/tex]=>[tex]MO=\frac{AD}{2}=5[/tex]. [tex]S_{COB}=\frac{6.8}{2}=\frac{ON.10}{2}[/tex]

[Wanko]

Много благодаря за помощта ;]

[ganka simeonova]

3
[tex]\angle DAO=\angle OBC=\alpha[/tex]=>[tex]\angle CON = \alpha[/tex]=>[tex]\angle MOA=\alpha[/tex]. аналогично [tex]\angle MDO=90^\circ-\alpha=\angle MOD[/tex]=>[tex]MD=MO=MA[/tex]=>[tex]MO[/tex] e медиана в [tex]\Delta AOD[/tex]=>[tex]MO=\frac{AD}{2}=5[/tex]. [tex]S_{COB}=\frac{6.8}{2}=\frac{ON.10}{2}[/tex]

УАУ!!!!!!!

[martin123456]

бау, джаф