3 вектора перпендикулярни

[shadowhr]

Даден е тетраедър OABC, за който [tex]\vec{OA}[/tex] =[tex]\vec{a}[/tex] [tex]\vec{OB}[/tex] = [tex]\vec{b}[/tex] и [tex]\vec{OC}[/tex] = [tex]\vec{c}[/tex]. Нека |[tex]\vec{a}[/tex]|=2,|[tex]\vec{b}[/tex]|=2,|[tex]\vec{c}[/tex] |=1 и трите вектора са два по два перпендикулярни. Построена е височината ОH на тетраедъра, т.H ∈ (ABC) и OH⊥(ABC). Да се изрази вектора [tex]\vec{CH}[/tex]чрез [tex]\vec{a}[/tex] , [tex]\vec{b}[/tex]и [tex]\vec{c}[/tex]

[Nathi123]

От условието следва,че ако триъг АВС вземем за основа на тетраедъра ,то околните стени са правоъг. триъгълници с прави ъгли при върха О. Също т. Н е ортоцентър на триъ. АВС. От питагоровата т-ма за правоъг. триъгълници ( околните стени) следва,
че AB = [tex]2\sqrt{2} , BC = AC = \sqrt{5}[/tex] .
Нека СН [tex]\cap AB = C_{1 } \Rightarrow AC_{1 }=BC_{1 } =\frac{1}{2}AB = \sqrt{2}.
\vec{CC_{1 }}=\vec{OC_{1 }} - \vec{OC} , \vec{OC_{1 }} = \frac{1}{2} ( \vec{OA} + \vec{OB}) = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})[/tex] ( [tex]C_{1 }[/tex] - среда на АВ)
[tex]\Rightarrow \vec{CC_{1 }} = \frac{1}{2}(\vec{a} +\vec{b} - 2\vec{c} )[/tex]

Нека [tex]\angle CAB = \angle ABC = \alpha \Rightarrow \angle ACB = 180 ^\circ - 2 \alpha.
BH\cap CA = B_{1 } . \Delta ACC_{1 }[/tex]
[tex]\Rightarrow cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{5}}\Rightarrow sin\alpha =\sqrt{\frac{3}{5}}\Rightarrow
cos2\alpha =-\frac{1}{5}\Rightarrow \frac{CB_{1 }}{CB} = - cos\alpha = \frac{1}{5}
\Rightarrow CB_{1 } = \frac{\sqrt{5}}{5}[/tex] .
[tex]\Delta CB_{1 }H\Rightarrow \frac{CB_{1 }}{CH} = sin\alpha = \sqrt{\frac{3}{5}}\Rightarrow CH =\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{CH}{CC_{1 }} = \frac{1}{3} \Rightarrow \vec{CH} =\frac{1}{3} \vec{CC_{1 }}=\frac{1}{6}( \vec{a} + \vec{b} -2\vec{c})[/tex]

[Knowledge Greedy]

Обемът на правоъгълния паралелепипед, чиито три взаимно-перпендикулярни ръба са с дадените дължини, е [tex]V=2.2.1=4[/tex]
Пирамидата [tex]ABCO[/tex], с основа [tex]\Delta ABC[/tex] има обем [tex]\frac{1}{6}V=\frac{2}{3}[/tex]
Втори начин за пресмятане обема на пирамидата [tex]ABCO[/tex] е чрез търсената височина [tex]OH[/tex] и лицето [tex]S_{\Delta ABC}[/tex] на основата ѝ [tex]\Delta ABC[/tex]

[tex]V_{ABCO}=\frac{1}{3}S_{\Delta ABC}.CH[/tex]

[tex]S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex] Пресмятането е просто, тъй като [tex]\Delta ABC[/tex] е равнобедрен с основа [tex]AB=2\sqrt{2}[/tex] и бедра [tex]AC=BC=\sqrt{5}[/tex]- непосредствено от данните - чрез питагорови теореми.

От двата резултата за обема следва [tex]OH= \frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex]

За да е съвсем различно решението ми от това на Nathi123 (в което има грешки), ще разглеждам петата на височината [tex]OH[/tex]- точката H, като допирна точка на равнината [tex](ABC)[/tex] и сферата с център точката [tex]O[/tex] и радиус намерената [tex]OH=\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex]
Нека [tex]H(x;y;z)[/tex] .
Координатите ѝ удовлетворяват уравненията на сферата и на равнината.
[tex]\begin{array}{|l} x^2 + y^2+z^ = \left (\frac{\sqrt{6}}{3} \right )^2 \\ \frac{x}{2}= \frac{y}{2}= \frac{z}{1}=t \end{array}[/tex]
След решаване на системата [tex]\vec{OH}\left ( \frac{2\sqrt{6}}{9}; \frac{2\sqrt{6}}{9}; \frac{\sqrt{6}}{9}; \right )[/tex]
защото координатите на [tex]H[/tex] и на въпросния вектор са едни и същи.
Последният резултат ще ни послужи за изразяването [tex]\vec{OH}= \frac {\sqrt{6}}{9}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})[/tex]

[Nathi123]

За да е съвсем различно решението ми от това на Nathi123 (в което има грешки),

Моля посочете грешките.
Лицето на [tex]\Delta ABC = \frac{1}{2}AB.CC_{1 }= \frac{1}{2}2\sqrt{2}.\sqrt{3} = \sqrt{6}[/tex]

[monika_at]

Аз получавам същия отговор като Нати. Грейди има грешка с лицето

[ptj]

Задачата е елементарна с малко познания по АГ. Нека т.О e координатното начало, а съоветно ОА,ОB и ОC са направленията по 3-те оси.
Равнината (А,B,C) минава през точките с координати (2;0;0), (0;2;0),(0;0;1), т.е. нейното общо уравнение е х+y+2z=2 (заместваме неопределените коефициенти в споменатите 3 точки). Нейния нормален вектор е (1;1;2), а за т.Н(k;k;2k) от уравнението на равнината намираме k=1/3. Тогава[tex]\vec{OН}=\frac{1}{6}\vec{ОA}+\frac{1}{6}\vec{ОB}+\frac{2}{3}\vec{ОC}[/tex].
[tex]\vec{CH}=\vec{OН}-\vec{ОC}[/tex].

П.П. Изчисленията на nathi123 не са коректни. Стойностите за [tex]OC_1[/tex] и [tex]CC_1[/tex] са други, първата чрез лице, а втората през питагорова за [tex]\Delta{COC_1}[/tex].

[Knowledge Greedy]

Използвал съм за лицето на [tex]\Delta ABC[/tex] числото [tex]\sqrt{6}[/tex] (макар да съм го написал [tex]\sqrt{6}/2[/tex])
Не знам как съм сбъркал отрезовото уравнение на равнината [tex](ABC)[/tex], то e
[tex]\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=1[/tex] - както го пише ptj . Тогава норм. вектор е [tex](1;1;2)[/tex]
Следователно координатите на [tex]H[/tex] са [tex]H(t,t,2t)[/tex].
Точката [tex]H[/tex] e допирна на сферата [tex]x^2+ y^2+ z^2=\left ( \frac{2}{\sqrt{6}} \right )^2[/tex] с равнината [tex](ABC)[/tex]
Замествайки
[tex]t^2+t^2+(2t)^2=\frac{4}{6}[/tex] откриваме [tex]t=\frac{1}{3}[/tex]
Следователно [tex]H\left ( \frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{2}{3} \right )[/tex]
Следователно [tex]\vec {OH}=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}[/tex]

[Nathi123]

П.П. Изчисленията на nathi123 не са коректни. Стойностите за [tex]OC_1[/tex] и [tex]CC_1[/tex] са други, първата чрез лице, а втората през питагорова за [tex]\Delta{COC_1[/tex].

В написаното решение никъде не се борави с отсечки [tex]OC_{1 }[/tex] и [tex]CC_{1 }[/tex] , а с [tex]\vec{OC} = \vec{c}[/tex] и [tex]\vec{OC_{1 }}[/tex] . В решението е казано,че т.[tex]C_{1 }=AB\cap CH[/tex] и от АС = ВС [tex]\Rightarrow AC_{1 } = BC_{1 }=\frac{1}{2}AB[/tex] . Точка О е произволна [tex]\Rightarrow \vec{OC_{1 }}=\frac{1}{2}( \vec{OA}+\vec{OB})=\frac{1}{2}( \vec{a} + \vec{b}) .[/tex]
По - нататък изчисленията на отсечките са в равнината на триъг. АВС с приложение на тригонометрията за решаване на планиметрична задача.
( пресмятането на отсечката СН ,където т.Н е ортоцентъра на остроъг. триъг. АВС със страни АС = ВС = [tex]\sqrt{5}[/tex] и АВ = [tex]2\sqrt{2}[/tex]).

[Knowledge Greedy]

За да е съвсем различно решението ми от това на Nathi123 (в което има грешки),

Моля посочете грешките.
Лицето на [tex]\Delta ABC = \frac{1}{2}AB.CC_{1 }= \frac{1}{2}2\sqrt{2}.\sqrt{3} = \sqrt{6}[/tex]

Имах предвид първо тази грешка

Драматична Грешка.png (19.49 KiB) Прегледано 709 пъти

,
но на фона на моите, тя бледнее

[Nathi123]

Имах предвид първо тази грешка

Драматична Грешка.png

,
но на фона на моите, тя бледнее

В доказателството е написано,че Н е ортоцентър в триъг. АВС ; АС = ВС = [tex]\sqrt{5} ; CH\cap AB = C_{1 } \Rightarrow AC_{1 }=BC_{1 } = \sqrt{2}[/tex] . След това е изразен [tex]\vec{CC_{1 }} = \vec{OC_{1 }} - \vec{OC}[/tex] . Никъде в пресмятанията и изразяванията не е използвано ,, [tex]\sqrt{2}\vec{CC_{1 }}[/tex] ",така че не виждам ,,драматични грешки"

[Knowledge Greedy]

Приравняването на НЕвектор на вектор е достатъчно сериозна грешка.

[monika_at]

Грейди, точката на Нати не е умножение. По-скоро край

[Knowledge Greedy]

ОК. Не се заяждам, моля Ви! Наистина не съм разбрал за точката Моника е права. Освен това си признавам, че не съм прочел условието на задачата - търси се изразяване на [tex]\vec{CH}[/tex], а не на [tex]\vec{OH}[/tex]
Трябва да си взема отпуск...

[monika_at]

Грейди, ти си последният човек в този форум, който би се заяждал. Изчакай малко с отпуската. След три седмици излизаме във ваканция

[Nathi123]

Приравняването на НЕвектор на вектор е достатъчно сериозна грешка.

В решението на задачата няма приравняване на вектор и скалар. Използва се ,че [tex]\frac{CH}{CC_{1 }} = \frac{1}{3}[/tex] и тъй като [tex]\vec{CH}[/tex] и [tex]\vec{CC_{1 }}[/tex] са еднопосочни вектори [tex]\Rightarrow \vec{CH} = \frac{1}{3}\vec{CC_{1 }}[/tex]. И наистина се търси [tex]\vec{CH}[/tex] .
А ,че човек може да се разсее и да допусне много досадна техническа грешка, случва се.

[ptj]

О.К. Нещо съм се заблудил. И трите решения водят до един и същ краен отговор.

П.П. Аз не написх последния ред в моето, защото писането на формули на таблет си е истинска мъка.