Интересно равенство

[estoyanovvd]

Неко О е център на описаната около остроъгълния триъгълник АВС окръжност. Ако M, N и К са точки съответно от страните ВС, СА и АВ на триъгълника и отсечките АМ, BN и СК минават през О, да се докаже равенството
[tex]\frac{1}{AM }+\frac{1}{BN }+\frac{1}{ CK}=\frac{2}{R }[/tex],
където R е радиусът на описаната окръжност.

[martin123456]

от синусова т-ма за триъгълник AMC намираме [tex]\frac{AM}{AC}=\frac{\sin{\gamma}}{\sin{(3.90-2\beta-\alpha)}}=\frac{\sin{\gamma}}{-\cos{(\gamma-\beta)}}[/tex]
използвайки [tex]\frac{AC}{\sin{\beta}}=2R[/tex] и преобразувайки израза достигаме до равенството [tex]\frac{R}{AM}=-\frac{\cos{(\gamma-\beta)}}{\sin{\beta}\sin{\gamma}}=-cotg\gamma cotg\beta +1[/tex].
значи трябва да док, че [tex]cotg\gamma cotg\beta +cotg\gamma cotg\beta +cotg\gamma cotg\beta=1[/tex], което е известно.

[estoyanovvd]

То по тази логика не трябва да решаваме никоя задача, защото решението по всяка вероятност вече е известно на някой?!
Я по-добре напиши как се доказва до край задачата, защото на мен също ми е известно, но на доста от участниците във форума не е. А не е изключено да се даде подобна задачка на приемен изпит!

[martin123456]

напиши го ти

[estoyanovvd]

Като започнеш нещо, довърши го до край! В противен случай някой може да си помисли, че не можеш!!! Или поне дай идеята!

[martin123456]

исках да покажа логиката, а не да решавам отделните подзадачи
ако сега за теб е важно и другите да знаят отделните подзадачи, реши им ги, ако те питат

[estoyanovvd]

Мартине, предполагам не си мислиш, че в този форум се публикуват задачи за да проверим дали ТИ можеш да ги решиш?
Или реши нещо до край, или изчакай извествно време за да видим другите участници могат ли да се сетят нещо. Ако някой пък те изпревари, то ще бъде случайно!

[martin123456]

много хора пускат задачи за които да им се помогне да се решат. не всеки от тях иска пълно решение, а само упътване, идея... има и други хора, които пускат и задачи, които другите да решат за себе си. не мога да знам коя задача от какъв човек е пусната или да следя в кой подфорум е. не знаеш ли за тези хора...?

[estoyanovvd]

Да, така е. Но тази задача ти си я свел до друга, която не бих казал, че е по-лесна от нея. Не мислиш ли, че е така?

[martin123456]

НЕ
и смятам че след като постваш задачи не може да претендираш за 'нехаресали ти отговори'. и не можеш да казваш на хората как да се поправят, заради другите четци. ако ти искаш поправка, напиши си я сам

[dim]

Да, така е. Но тази задача ти си я свел до друга, която не бих казал, че е по-лесна от нея. Не мислиш ли, че е така?

Тая "не по-лесна задачка" е пряко следствие от равенството [tex]tg\alpha + tg \beta + tg \gamma =tg \alpha tg \beta tg\gamma[/tex], което сигурно го има във всеки справочник по математика, защото аз го намерих веднага в първият който отворих.

ПП. Сега пък видях, че даже има и направо онова равнство с котангенсите...

[martin123456]

мерси, dim

[estoyanovvd]

Тая "не по-лесна задачка" е пряко следствие от равенството [tex]tg\alpha + tg \beta + tg \gamma =tg \alpha tg \beta tg\gamma[/tex], което сигурно го има във всеки справочник по математика, защото аз го намерих веднага в първият който отворих.

ПП. Сега пък видях, че даже има и направо онова равнство с котангенсите...

Тази формула може да я има във всеки справочник по математика, но на кандидатстудентски изпит нямаш право да я използваш! Трябва да я докажеш! Не обърквайте хората!!!

[dim]

Доказва се чрез прости заместания. И елементарни тригонометрични формули. За да не ставам празнословен ето доказателство:
[tex]tg\alpha +tg\beta = \frac {sin\gamma }{sin\alpha.sin\beta}[/tex](1)
[tex]tg\alpha +tg\gamma = \frac {sin\beta }{sin\alpha.sin\gamma}[/tex](2)
[tex]tg\gamma +tg\beta = \frac {sin\alpha }{sin\gamma.sin\beta}[/tex](3)
[tex](1)+(2)+(3)=2(tg{\alpha}+tg{\beta}+tg{\gamma}[/tex]). Сега като заместим това равенството в равнството с тангенсите, което се мъчим да докажем и опростим, получаваме: [tex]sin\alpha cos\alpha +sin\beta cos\beta +sin\gamma +cos\gamma =2sin\alpha sin\beta sin \gamma[/tex]. Сега като използваме формулата [tex]sin\alpha =2sin{ \frac{\alpha }{2}}cos {\frac{\alpha }{2}}[/tex] и [tex]\gamma =180-(\alpha +\beta )[/tex] стигаме до: [tex]sin{ \frac{\alpha +\beta }{2}}+cos{ \frac{\alpha -\beta }{2}}=2cos{ \frac{\alpha }{2}}cos{ {\frac{\beta }{2}}[/tex], което е добре известно равенство и не би трябвало да се доказва от кандидастудента.
Това не е сложно, а съм сигурен, че може и по-просто...

[estoyanovvd]

[tex]sin{ \frac{\alpha +\beta }{2}}+cos{ \frac{\alpha -\beta }{2}}=2cos{ \frac{\alpha }{2}}cos{ {\frac{\beta }{2}}[/tex], което е добре известно равенство и не би трябвало да се доказва от кандидастудента.

Кандидатстудента трябва да доказва всичко, което го няма в учебника като теорема или решена задача!Друг е въпросът, че това вече наистина се доказва лесно, като се приложат формулите за косинус и синус от сбор и разлика на ъгли.

[martin123456]

[tex]tg(\alpha+\beta)=\frac{tg\alpha + tg \beta}{1-tg\alpha tg\beta}[/tex]
[tex]\alpha + \beta + \gamma = \pi[/tex], [tex]tg(\alpha+\beta)=tg(\pi - \gamma)=-tg\gamma[/tex]
=> [tex]-tg\gamma = \frac{tg\alpha + tg \beta}{1-tg\alpha tg\beta}[/tex] <=>[tex]-tg \gamma + tg \alpha tg\beta tg \gamma = tg \alpha + tg \beta[/tex]

[indy]

Кандидатстудента трябва да доказва всичко, което го няма в учебника като теорема или решена задача!

Истината е, че кандидатстудентът не трябва да доказва и може да използва на готово произволно твърдение, стига то да е вярно!

[estoyanovvd]

Кандидатстудента трябва да доказва всичко, което го няма в учебника като теорема или решена задача!Друг е въпросът, че това вече наистина се доказва лесно, като се приложат формулите за косинус и синус от сбор и разлика на ъгли.

Истината е, че кандидатстудентът не трябва да доказва и може да използва на готово произволно твърдение, стига то да е вярно!

Може би се бъркаш с участник в олимпиада или състезание по математика. А истината за кандидатстудента е, че той, кандидатстудентЪТ, наистина трябва да доказва всичко, което го няма в учебника като теорема или решена задача! От къде се навъдихте толкова професори и философи, бре?!

[indy]

Г-н Стоянов, колко пъти сте проверявал задачи за изпит във ВУЗ?

[naitsirk]

Ето едно много просто доказателство на твърдението:
[tex]cotg\alpha .cotg\beta +cotg\alpha .cotg\gamma +cotg\beta .cotg\gamma =[/tex]
[tex]cotg\alpha (cotg\beta +cotg\gamma )+cotg\beta .cotg\gamma[/tex]
Използваме формулата:
[tex]cotg(x+y)=\frac{cotgx.cotgy-1}{cotgx+cotgy }[/tex] => [tex]cotgx+cotgy=\frac{1-cotgx.cotgy}{cotg(180^\circ -x-y) }[/tex]. В нашия случай [tex]cotg\beta +cotg\gamma =\frac{1-cotg\beta .cotg\gamma }{cotg\alpha }[/tex] или като заместим получаваме:
[tex]cotg\alpha .\frac{1-cotg\beta .cotg\gamma }{cotg\alpha }+cotg\beta .cotg\gamma=1-cotg\beta .cotg\gamma+cotg\beta .cotg\gamma=1[/tex]

[estoyanovvd]

Г-н Стоянов, колко пъти сте проверявал задачи за изпит във ВУЗ?

Изпит във ВУЗ не съм все още. Проверявъл съм два пъти ДЗИ и десетки пъти на зимни и пролетни състезания по математика. Някаква ирония ли долавям от твоето изказване? Познавам хората, които проверяват и дават задачите в СУ-то и те ме познават мен. Я ти кажи от къде е твойта информация?

[martin123456]

да, бе, зимни и пролетни
и кои хора от су проверяват

[estoyanovvd]

Какво ви става бе хора? Проверявал съм зимни и пролетни, а познавам хората, които дават задачите в СУ-то. Не четете ли внимателно?
Познавам и тези дето дават задачите на зимните и пролетните. И те ме познават.

[martin123456]

e и аз ги познавам, ама не знам как оценяват когато ползваш от позволен за СУ изпит справочник мисля всичко е позволено

[estoyanovvd]

Значи, за матурите ти дават книжка в която пише задачите и в която ти пишеш. В края на книжката има формули, които можеш да ползваш. И мога да ви уверя, че там има само тези, които ви казвам.