Подобни триъгълнци - задача по математика за 9 клас

[R3dSun]

Може ли да ми помогнете с тази задача моля? Би трябвало да се реши с теорема на Талес и Подобни триъгълници.

Дължините на основите на трапец ABCD са AB=a и CD=b. През пресечната точка O на диагоналите му е прекарана отсечка MN, успоредна на основите на трапеца и ограничена от бедрата му. Докажете, че O е средата на MN и MN=2ab/a+b.

[Knowledge Greedy]

[tex]\Delta MOD \sim \Delta ABD \,\ \Rightarrow \,\ \frac{x}{a}=\frac{DO}{DB}[/tex]

[tex]\Delta ONC \sim \Delta ABC \,\ \Rightarrow \,\ \frac{y}{a}=\frac{CO}{AC}[/tex]

[tex]\Delta MOA \sim \Delta DCA \,\ \Rightarrow \,\ \frac{x}{b}=\frac{AO}{AC}[/tex]

[tex]\Delta ONB \sim \Delta DNB \,\ \Rightarrow \,\ \frac{y}{a}=\frac{OB}{DB}[/tex]

Trapezoid SG.png (6.94 KiB) Прегледано 264 пъти

Събираме първото и четвъртото, второто и третото:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1 \\ \frac{x}{b}+\frac{y}{a} = 1 \end{array}[/tex]

Като ги извадим почленно, получаваме, че [tex]x=y[/tex], а като заместим в едно от двете намираме цялото
[tex]MN=2x=\frac{2ab}{a+b}[/tex]

[Knowledge Greedy]

От четирите подобности последната да се чете така:
[tex]\Delta ONB \sim \Delta DCB \,\ \Rightarrow \frac{y}{b}=\frac{OB}{DB}[/tex]