Възможни ли са тези 2 задачи

[atom3]

Имам две задачи, не мога да ги реша, не знам дали условието им е пълно но би трябвало да са лесни
зад 1
Даден произволен триъгълник АBC, Sabc = 60кв. см., от CB към AB е построена права MN която разделя CB в пропорции така че CM = 4MB, a AB в пропорции AN = 2NB.
Да се намери лицето на ANMC.

зад 2
Даден е произволен трапец ABCD, Sabcd = 50кв. см., построени са му диагоналите и се знае че диагонал DB е разделен от другия диагонал в точка О в пропорции DO = 4OB.
Да се намери лицето на триъгълник BOC.

Имат ли решение с тези им условия ?

[KOPMOPAH]

Първа задача би трябвало да изглежда както на чертежа. Прекарваш [tex]CN[/tex] и разглеждаш [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]\Delta NBC[/tex]. По условие основата [tex]AB[/tex] е три пъти по-голяма от основата [tex]BN[/tex], отбелязана на чертежа с [tex]c_{1 } \Rightarrow S_{BNC }= \frac{S_{ABC }}{3}[/tex] (триъгълниците имат една и съща височина). По същия начин се получава, като се разгледат [tex]\Delta MNB[/tex] с основа [tex]BM=a_{1 }[/tex]и [tex]\Delta BNC[/tex] с основа [tex]BC=5a_{1 }\Rightarrow S_{MNB }= \frac{S_{BNC }}{5}= \frac{S_{ABC }}{15}[/tex]. Тогава за търсеното лице [tex]S_{ANMC }[/tex] се получава [tex]S_{ANMC }=S_{ABC }- S_{MNB }=S_{ABC }-\frac{S_{ABC }}{15}=\frac{14}{15}S_{ABC }=56 cm^{2}[/tex]

[KOPMOPAH]

Според условието на втора задача трапецът трябва да изглежда, както на чертежа (малко необичайно за трапец, но в задачите всичко е възможно )
По условие [tex]DO=4BO[/tex], обозначени на чертежа съответно с [tex]4m[/tex] и [tex]m[/tex]. Триъгълниците [tex]\Delta ABO[/tex] и [tex]\Delta DCO[/tex] са подобни (знаеш защо) и лицата им се отнасят както вторите степени на някой съответен линеен елемент, т.е. ако означим лицето на [tex]\Delta ABO[/tex] с [tex]S[/tex], то лицето на [tex]\Delta DCO[/tex] ще бъде [tex]16S[/tex].
Сега разглеждаме триъгълниците [tex]\Delta ABO[/tex] и [tex]\Delta ADO[/tex]. Те имат равни височини към основите си [tex]BO[/tex] и [tex]DO[/tex], а отношението на основите им е 4:1, следователно ако [tex]S_{ABO}=S[/tex], [tex]S_{ADO}=4S[/tex]. По същата логика [tex]S_{BCO}=4S[/tex]. Събираме лицата [tex]S_{ABO} +S_{BCO}+ S_{CDO}+ S_{ADO} = S+4S+16S+4S = 25S = 50 cm^{2} \Rightarrow S=2 cm^{2}, S_{BCO}=4S=8 cm^{2}[/tex]

ИЗВОД: Задачите са възможни!