Трудна задача от сборника на Коларов

[babila]

Да се намери височината на триъгълна п-да SABC,за която AB=BC=SA=SC,BC=4√3,периметъра на основата е 16дм и всички околни стени сключват =ъгли с основата .
Моля,за решение, ако някой има възможност и благодаря.

[KOPMOPAH]

Дали $BC=4\sqrt3$ или $BS=4\sqrt3$ ?

[babila]

Разбира се,че си прав.BS=4√3,BC не е дадена.Извинявам се за грешката и благодаря.

[Nathi123]

В условието на задачата BS = [tex]4\sqrt{3} dm.[/tex] Нека AB=BC = SA = SC = x, построяваме BM [tex]\bot AC ; AQ\bot BS \Rightarrow AM = MC = y ; AQ = QS = 2\sqrt{3} dm. \Delta ABC \cong \Delta ASC\Rightarrow BM = SM = \sqrt{x^{2}-y^{2}}[/tex]
( съответни височини в едн. триъг. и Т на Питагор за триъг. ABM.).
2x+2y=16 dm[tex]\Rightarrow x+y = 8 ; x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)=8(2x-8)(1); ( y = 8-x)[/tex]
Нека SO[tex]\bot (ABC) ; SP\bot AB\Rightarrow[/tex] т.О-център на вписаната в триъг.АВС окръжност ( околните стени сключват равни ъгли с основата), също височините към основните ръбове в ок. стени са равни т.е. SM = BM = SP. [tex]2S_{\Delta ABS }= AB.SP=BS.AQ; AQ=\sqrt{x^{2}-12}[/tex] ( Т на Питагор за триъг. ABQ) [tex]\Rightarrow x\sqrt{x^{2}-y^{2}}=4\sqrt{3}\sqrt{x^{2}-8}\Rightarrow x^{3}-7x^{2}+36=0[/tex] използват се преобраз. (1).
[tex]\Rightarrow x = 3 \cup y = 5 \Rightarrow x^{2} - y^{2}<0-не е реш. \cup x = 6 y =2 \Rightarrow S_{\Delta ABC }= 8r = y\sqrt{x^{2}-y^{2}}
\Rightarrow r = \sqrt{2}.[/tex]
[tex]SO = \sqrt{SM^{2}-r^{2}}=\sqrt{32-2}=\sqrt{30}.[/tex] ( търсената височина).

[babila]

Хиляди благодарности на Nathi123!